连续系统的时域分析

LTI连续系统的响应

连续系统的表示

1. 二阶常系数线性微分方程

在上一章中我们对系统进行分类的时候即说过，对于线性时不变性系统，可以用【常系数线性微分方程】来对系统进行数学建模。

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2. 相似系统
“能用相同的数学方程描述的系统称为相似系统”

其本质就是将具体的现实系统用抽象的数学语言进行描述，这样更容易发现系统之间的共性，也可以类比移植研究方法。

3. 微分方程的模拟框图
（1）基本运算↔基本部件
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（2）模拟框图
将微分方程用基本部件的相互联接表征出来的图即称作框图。

（3）微分方程→系统框图
①输入信号只有f(t)

【方法论】
因为使用积分器来表达微分运算，所以要注意积分运算和微分运算的互逆特性。
对于一个微分方程的通式【y^’’(t)+a₁y^’(t)+a₀y(t)=f(t)】要转换成【y^’’(t)=-a₁y^’(t)-a₀y(t)+f(t)】的形式，yⁿ(t)通过积分器即可得到y^n-1(t)
①最高阶为几阶导数，系统就是几阶的，就要相应使用几个积分器；
②将最高阶的导数项写在最左边积分器的最左侧
③以最右边的积分器的输出作为y(t)

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②输入信号是f(t)的组合形式

【方法论】
如果想要利用积分器来表示f^’(t)与f(t)之间的关系，就需要再增加一个积分器，但这样就会违背【系统有几阶就使用几个积分器】的原则。

对于形如【y^’’(t)+a₁y^’(t)+a₀y(t)=af(t)+bf^’(t)】这样的系统
①先构造一个响应x(t)，该x(t)对应系统【：
】的响应
②再根据LTI系统的线性性以及微分特性，可以得到，原系统的响应y(t)=ax(t)+bx^’(t)

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（4）系统框图→微分方程

【方法论】
①找准求和器，求和器隐含着等式关系
②如果输出的响应信号y(t)前还设有一个求和器，则需要引入辅助变量x(t)，x(t)设立在最右边的积分器的输出位置；于是可以根据积分器的运算关系陆续推出各个节点的信号
③逆向使用LTI系统的线性性和微分特性：
根据框图的关系得到了x^’’(t)+a₁x^’(t)+a₀x(t)=f(t)，然后又有y(t)=ax(t)+bx^’(t);
那么便可组合得到y^’’(t)+a₁y^’(t)+a₀y(t)=af(t)+bf^’(t)

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微分方程的经典解法

1. 经典微分方程的解结构
齐次线性微分方程（LTI系统的数学模型就是齐次线性微分方程）的通解=齐次解+特解
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2. 微分方程齐次解的形式

3. 微分方程特解的形式

4. 示例

连续系统的响应

连续系统的初始值和初始状态

LTI连续系统的零状态响应

LTI连续系统的零输入响应

LTI连续系统的响应的分类

1. 初始值与初始状态
（1）概念介绍

①初始值：n阶系统在t=0时接入激励，其响应在t=0₊时刻的值，即y^(j)(0₊)（j=0,1,2,…,n-1）
②初始状态：系统在激励尚未接入的t=0_-时刻的响应值y^(j)(0_-)j=0,1,2,…,n-1），这个值反映了系统的历史情况，而与激励无关。

在求解微分方程的时候往往需要初始条件来代入求解未知系数，因此我们需要从已知的初始状态y^(j)(0_-)中求出初始值y^(j)(0₊)。

（2）从初始状态求解初始值
①方法论

如果激励f(t)中含有冲激函数及其导数，那么当t=0时激励接入系统时，响应及其导数从y^(j)(0_-)值到y^(j)(0₊)值可能会发生跃变。因此需要我们掌握方法从初始状态求解出相应的系统初始值。

将输入f(t)代入微分方程，根据【等式两端各奇异函数的系数相等】的原理，可以得到方程左端y(t)的最高阶导数中含有δ(t)的最高阶导数。
假设等式右端δ(t)的最高阶项为δⁿ(t)，那么可设yⁿ(t)=a_nδⁿ(t)+a_n-1δ^n-1(t)+…+a₀δ(t)+r₀(t),其中r₀(t)中不含有δ(t)及其各阶导数
对yⁿ(t)进行逐次积分，得到y^n-1(t)，…，y(t)，将这些项全都代入微分方程中，根据方程等号两端奇异函数项的系数相等的原则，从而可以求得所有的未知待定系数
最后再将所有确定了的各阶导数yⁿ(t)，…，y^’(t)关于[0_-,0₊]区间进行积分，即可以求得n阶微分方程的n个初始值。

若yⁿ(t)的式子中含有冲激导数或其各阶导数，则说明函数y^n-1(t)在[0_-,0₊]区间中发生了跃变；反之，如果某个函数的导数不含有冲激函数及其各阶导数，就说明该函数在区间[0_-,0₊]中不发生跃变。

②示例
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2. 零输入响应
（1）定义
零输入响应y_zi(t)（y_x(t)）是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应。

在零输入的条件下，系统对应的数学方程应该是一个齐次线性微分方程。

（2）零输入状态的初值条件
因为零输入状态下不对系统加入任何激励，那么在t=0这一刻系统自然不会发生任何状态的突变。且在t=0_-时刻，按照初始状态的定义，y^(j)(0_-)反映的也是该时刻系统的所有历史数值。
故有 $y(0_-)=y_{zi}(0_-)=y_{zi}(0_+)$
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（3）零输入响应的求解
①方法论

将y(t)=0代入系统，得到系统相应的零输入状态下的齐次线性微分方程组

按照上述结论求得相应的零输入初始值

按照齐次线性微分方程组的求解方法，求解特征方程，得到相应的通解形式，并利用初始值求解待定系数。

②示例
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3. 零状态响应
（1）定义
零状态响应y_zs(t)（y_f(t)）是系统的初始状态为零时，仅由输入信号f(t)所引起的响应。

在零状态的条件下，LTI系统对应的数学方程仍然是一个非齐次线性微分方程。

（2）零状态情况下的初值条件
因为是零状态，根据【初始条件】的定义可知系统在0_-及之前的时刻没有任何的历史信息。也就是说零状态响应在0_-时刻的各阶数值都为0.
故有 $y_{zs}^{(j)}(0_-) = 0,j=0,1,...$
但是我们求解通解的待定系数需要的是【初始值】，所以需要用到前文中【从初始状态求初始值】的待定系数法进行求解——将f(t)=ε(t)代入原微分方程，求出y_zs^(j)(0₊)和y_zs^(j)(0_-)之间的关系。

（3）零状态响应的求解

本质上和求解一个非齐次线性微分方程组的通解是一样的。

①方法论

将f(t)=ε(t)代入微分方程，按照系数匹配法求得系统的各阶初始值

在上式代入了将f(t)=ε(t)的基础上，令t>0——此时δ(t)=0,ε(t)=1

根据特征方程，求得零状态响应中的齐次部分的形式（此时含有未知系数）
根据激励的形式，确定零状态响应中的特解部分的形式，并将特解代入上述方程，可以求出未知系数
将特解和齐次解合并（得到的即为零状态响应的通解，且其内含有齐次部分的未知系数），再代入上述方程，根据【等式两边相同项的系数对应相等】的原则求解出剩下的未知系数。

②示例
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4. 响应的分类

我们可以从三个角度去划分一个系统的响应。

①零输入响应和零状态响应
之前在讲述系统的线性性质的时候曾说过，对于一个LTI系统，全响应=零输入响应+零状态响应。
这是从作用于该系统的激励的角度来进行分类，将系统的响应划分成系统的历史状态引起的和外加输入信号引起的。

②固有(自由)响应和强迫响应

固有响应：仅仅与系统本身的特性有关，与激励的函数形式无关。比如说方程的齐次解（y_h(t)）的形式仅仅由特征方程的根确定，所以齐次解往往就被称作是系统的【固有响应】，而特征方程的根相应称作系统的【固有频率】。
强迫响应：与激励的函数形式有关，比如微分方程的特解(y_p(t))形式往往需要根据激励的函数形式来确定。

③暂态响应和稳态响应

暂态响应：响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，该部分将会消失
稳态响应：稳定的分量，如果存在则通常表现为阶跃函数和周期函数。e.g. 电路系统中的直流稳态响应和正弦稳态响应。

【响应分类的示例】
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基本信号响应的定义与求解

讲述信号系统中的两类典型信号：冲激信号和阶跃信号，作用于系统时，系统会有怎样的响应。

p.s. 值得注意的是，冲激响应和阶跃响应都是零状态响应。

冲激响应的定义与求法

1. 冲激响应的定义
对一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激函数δ(t)所引起的响应即为（单位）冲激响应，表示为h(t)。
一言以蔽之，冲激响应是激励为单位冲激信号δ(t)时系统的零状态响应。
$h(t)=T[{0}，δ(t)]$
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2. 冲激响应的求法

3. 示例

阶跃响应的定义与求法

阶跃响应的求解与冲激响应的求解思路大同小异，只不过作用于系统的信号性质不同，读者在学习此处内容时可以与上文进行类比。

1. 阶跃响应的定义
对一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数ε(t)所引起的响应即为（单位）阶跃响应，表示为g(t)。
一言以蔽之，冲激响应是激励为单位阶跃信号ε(t)时系统的零状态响应。
$g(t)=T[{0}，ε(t)]$
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2. 阶跃响应的求法

3. 示例

4. 冲激响应与阶跃响应之间的关系
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信号的卷积

信号的【卷积】是一种很重要的运算，我么学习它的思路是——利用卷积将输入信号分解成众多的冲激函数之和(或积分)的形式，利用前面所学的冲激响应，求解LTI系统对任意激励的零状态响应。

由此可知，【卷积的本质是分解】。

信号的时域分解

所谓的【信号分解】就是把信号f(t)分解成基本信号δ(t)和ε(t)的线性组合。

1. 门函数的表示
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2. 任意信号的分解

首先，我们使用f^hat(t)来近似f(t)，是采用了微积分中的微元思想，用很多的锯齿状的折线段来逼近原函数，当折线段的间隔取得越小，拟合就越精准；
注意体会f(△)△p(t-△)的含义，其本质就是将一个门函数在f(t)曲线上进行移动和升降操作，使之尽量贴合原曲线；
因为要使得f^hat(t)=f(t)，需要用到极限的运算，在极限运算下——离散量变成连续量，间隔量变成微元，求和变成积分。

在后续的课程中，我们马上就会学到，上图最后得到的积分式子，就可以定义成f(t)与δ(t)的卷积操作。
这也进一步验证了【卷积的本质就是信号的分解】。

卷积积分的定义与求解

1. 理解——定义【卷积】是为了完成信号的分解
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2. 卷积积分的一般定义

【卷积的运算小技巧】
在定义式中积分运算是在(-∞，+∞)的积分限中完成的，但实际运算中f₁(t)和f₂(t)往往都含有阶跃或者冲激的成分，所以可以根据这些基本信号的性质调整上下限：

一句话概括，就是f₁(t)影响积分的下限，f₂(t)影响积分的上限。

3. 计算示例
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4. 卷积积分的图解法
（1）方法论

（2）过程理解

把握图解法求解卷积积分，需要理解以下两点：
①使用图解法是为了更加清晰直观地确定积分运算的上下限，而被积函数是不变的。
②卷积积分只有当f₁(t)和f₂(t-τ)这两者的函数图像有重叠的时候才有值
③卷积积分的集合意义并不是两个图像重叠部分下的面积，而应该是重叠部分下f₁部分的面积乘上f₂部分的面积。

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（3）评价