【信号与系统】笔记（2）——连续系统的时域分析

Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！

前言

以下内容是关于连续系统的时域分析，重点难点，考试常考，考前复习。

一、系统的微分方程及其响应

1、LTI系统的微分方程

描述线性时不变（LTI）系统的输入–输出特性的是常系数线性微分方程

时域分析方法：从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入信号通过系统响应后的变化规律，是研究系统时域特性的重要方法。

对于电系统，建立其微分方程的依据：
$KCL:\sum i(t)=0\\ KVL: \sum u(t)=0\\ VCR:U_R(t)=R \cdot i(t),u_L(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt},i_C(t)=C \cdot \frac{du(t)}{dt}$

对于图（a）中RC电路
$RC \cdot \frac{du_C(t)}{dt} +u_C(t)=u_S(t)\\ 即:u ' _C(t) + \frac{1}{RC} \cdot u_C(t) = \frac{1}{RC} \cdot u_S(t)$
对于图（b）中RL电路
$\frac{L \cdot di_L(t)}{R \cdot dt} +i_L(t)=i_S(t)\\ 即:i ' _L(t) + \frac{R}{L} \cdot i_L(t) = \frac{R}{L} \cdot i_S(t)$
以上可以总结出一般形式： $y '(t)+ay(t)=\chi(t)$

2、系统的响应

2.1、零输入响应（储能响应）

从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）

2.2、零状态响应（受激响应）

当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）

对于一阶系统方程
$y '(t)+ay(t)=\chi(t)$
零状态响应：
$y_{ZS}(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t \chi(t) e^{a \tau} d \tau,(t \geq0)$

2.3、完全响应

$y(t)=y_{ZI}(t)+y_{ZS}(t),[全响应=零输入+零状态]$

2.4、例一( $y ''(t) + 6y '(t) + 8y(t) =f(t),t>0$)

已知某二阶限行连续时间系统的动态方程：
$y''(t) + 6y'(t) + 8y(t) =f(t),t>0\\ 初始条件：y({0_-})=1,y' ({0_-})=2,求系统的零输入响应$
解：

$系统的特征方程：s^2+6s+8=0,特征根：s_1=-2，s_2=-4 \\ 故系统的零输入响应：y_X(t)=k_1e^{-2t} + k_2e^{-4t},t>0 \\ y_X({0_+})=y_X({0_-}) = y_X({0}) = k_1+k_2=1\\ y'(0)=y_X'({0_-}) = -2k_1-4k_2=2\\ y_X({0})和y'(0)代入 可解出：k_1=3，k_2=-2$

可得零输入响应： $y_X(t)=3e^{-2t}-2e^{-4t},t \ge0$

2.5、例二( $y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0$)

$y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0\\ 初始条件：y({0_-})=2,y \prime ({0_-})=0,f(t)= \epsilon(t), \\ 求系统的零输入响应和零状态响应\\$
解：
$(1)零输入响应y_X(t)激励为0，故y_X(t)满足$

$y _X''(t) + 3y_X'(t) + 2y_X(t) =0\\ 系统的特征方程：s^2+3s+2=0,特征根：s_1=-2，s_2=-1 \\ 故系统的零输入响应：y_X(t)=k_1e^{-2t} + k_2e^{-t},t>0 \\ y_X({0_+})=y_X({0_-}) = y_X({0}) =2\\ y'(0)=y_X'({0_-}) = 0\\ y_X({0})和y'(0)代入 可解出：k_1=4，k_2=-2$

可得零输入响应： $y_X(t)=4e^{-t}-2e^{-2t},t >0$

$(2)零状态响应y_f(t)满足$
$y _f''(t) + 3y_f'(t) + 2y_f(t) =2 \delta (t)+6 \epsilon(t),并有y_f({0_-}) = y_f({0_+}) = 0\\$
$由于上式等号右端含有 \delta(t) , 故y _f''(t)含有 \delta(t)，从而y_f'(t)跃变 ,即y'_f({0_+}) \neq y'_f({0_-})\\ 而y_f(t) 在t=0处连续，即y_f({0_-}) = y_f({0_+})=0，上式两边积分有：\\ [y'_f({0_+}) - y'_f({0_-})]+3[y_f({0_-}) -y_f({0_+})]+2\int_{0-}^{0+}y_f(t) dt=2+6\int_{0-}^{0+} \epsilon(t)dt$

整理得： $y'_f({0_+}) =2+ y'_f({0_-})=2$

对 $t>0$时，有 $y _f''(t) + 3y_f'(t) + 2y_f(t) =6$

不难求出其齐次解为： $C_{f1}e^{-t}+C_{f2}e^{-2t},$其特解为常数 $3$

$\therefore y_f(t)=C_{f1}e^{-t}+C_{f2}e^{-2t}+3$

代入初值求得： $y_f(t)=-4e^{-t}+e^{-2t}+3,t \geq0$

2.6、响应的分类

分类标准	对应响应
响应的不同起因	储能响应、受激响应
系统的性质和输入信号的性质	自由响应（取决于系统性质，即特征根）、强迫响应（取决于输入信号的形式）
响应的变化形式	瞬态响应（t无限增大，响应趋于零）、稳态响应（响应恒定或为某个稳态函数）

二、阶跃响应

1、定义

LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为 $s(t)$

2、一阶系统方程的阶跃响应

对于一阶系统方程
$y '(t)+ay(t)=b\epsilon(t)$
则零状态响应：
$y_{ZS}(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t \chi(t) e^{a \tau} d \tau,(t \geq0)$
则阶跃响应：
$y (t)=s(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t b\epsilon(t) e^{a \tau} d \tau = \frac {b}{a} \cdot(1-e^{-at}),(t \geq0)$

3、阶跃响应的测量

三、冲激响应

1、定义

储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为 $h(t)$

2、一阶系统的冲激响应

对于一阶系统方程
$y '(t)+ay(t)=b\delta(t)$
则冲激响应：
$y (t)=h(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t b\delta(t) e^{a \tau} d \tau = b \cdot e^{-at} \cdot \epsilon(t)$

3、例一（ $y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)$）

描述某系统的微分方程为 $y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)$，求其冲激响应 $h(t)$

解：根据 $h(t)$定义有 $h''(t)+5h'(t)+6h(t)= \delta(t),\\ 并且有 h'({0_-}) = h({0_-}) = 0，先求h'({0_+}) 和 h({0_+})$

$由于上式等号右端含有 \delta(t) , 故h''(t)含有 \delta(t)，从而h'(t)跃变 ,即h' ({0_+}) \neq h'({0_-})\\ 而h(t) 在t=0处连续，即h({0_-}) = h({0_+})=0，上式两边积分有：\\ [h'({0_+}) - h'({0_-})]+5[h({0_-}) -h({0_+})]+6\int_{0-}^{0+}h(t) dt=1$

整理得： $h'({0_+}) =1+ h'({0_-})=1$

对 $t>0$时，有 $h''(t)+5h'(t)+6h(t)=0$

不难求出其齐次解为： $C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t},$

$\therefore h(t)=(C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

代入初值求得： $h(t)=(e^{-2t}-e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

4、例二（ $y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t)$）

描述某系统的微分方程为 $y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t)$，求其冲激响应 $h(t)$

解：根据 $h(t)$定义有
$h''(t)+5h'(t)+6h(t)=\delta''(t) + 2\delta'(t) +3\delta(t) \\ \tag{1}$
$并且有 h'({0_-}) = h({0_-}) = 0，先求h'({0_+}) 和 h({0_+})$
由方程可知： $h(t)$中含有 $\delta(t)$
故令：
$\begin{cases} h(t)=a \delta(t) +P_1(t) , [P_i(t)中为不含有\delta(t的函数) ]\\ h'(t)=a \delta'(t) + b \delta(t) + P_2(t)\\ h''(t)=a \delta''(t) + b \delta'(t) + c \delta(t) + P_3(t)\\ \end{cases}$
代入式（1）整理得：
$a \delta''(t) + (b+5a) \delta'(t) + (6a+5b+c) \delta(t) + P_1(t)+P_2(t)+ P_3(t)=\delta''(t) + 2\delta'(t) +3\delta(t)$
利用 $\delta(t)$系数匹配，得 $a=1,b=-3,c=12$
$h(t)= \delta(t) +P_1(t) \tag{2}$
$h'(t)= \delta'(t) -3 \delta(t) + P_2(t) \tag{3}$
$h''(t)= \delta''(t) -3 \delta'(t) + 12 \delta(t) + P_3(t) \tag{4}$
$对式（3）从0_{-}到0_{+}积分h(0_{+})-h(0_{-})=-3 \\ 对式（4）从0_{-}到0_{+}积分h'(0_{+})-h'(0_{-})=12$

对 $t>0$时,有 $h''(t)+5h'(t)+6h(t)=0,特征根-2，-3$

不难求出其齐次解为： $C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t},$

$\therefore h(t)=(C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

代入初始条件 $h(0_{+})=-3,h'(0_{+}) =12$求得： $h(t)=(3e^{-2t}-6e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

$结合式（2），h(t)= \delta(t)+(3e^{-2t}-6e^{-3t}) \cdot \epsilon(t)$

5、阶跃响应与冲激响应的关系

$\begin{cases} h(t)= \frac{ds(t)}{dt}\\ \\ s(t)= \int _{-\infty}^{t}h( \tau ) d \tau \end{cases}$

四、卷积及其应用

1、信号的时域分解与卷积积分

1.1任意信号的分解

$“0"$号脉冲高度 $f(0)$，宽度 $\Delta$，用 $p(t)$表示为 $f(0) \Delta p(t)$

$“1"$号脉冲高度 $f(\Delta)$，宽度 $\Delta$，用 $p(t-\Delta)$表示为 $f(\Delta) \Delta p(t-\Delta)$

$“-1"$号脉冲高度 $f(-\Delta)$，宽度 $\Delta$，用 $p(t+\Delta)$表示为 $f(-\Delta) \Delta p(t+\Delta)$

$\hat {f(t)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n\Delta) \Delta p(t-n\Delta)$

$\lim_{\Delta \to 0} \hat{f(t)} =f(t) = \int _{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t- \tau) d \tau$

1.2任意信号作用下的零输入响应

根据 $h(t)$定义：
$\delta(t) \implies h(t)$
由时不变性：
$\delta(t - \tau) \implies h(t - \tau)$
由齐次性：
$f(\tau) \delta(t - \tau) \implies f(\tau) h (t - \tau)$
由叠加性：
$\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \implies \int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h (t - \tau) d\tau$
$y_f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau ,卷积积分$

1.3卷积积分的定义

已知定义在区间 $(-\infty,+\infty)$上的两个函数 $f_1(t)$和 $f_2(t)$，则定义积分 $f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau$
为 $f_1(t)$和 $f_2(t)$的卷积积分，简称卷积；记为
$f(t)=f_1(t) *f_2(t)$
温馨提醒： $\tau$ 为积分变量，积分后的结果为关于 $t$ 的函数
$y_f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau =f_1(t) *h(t)$

2、卷积的图解法

$f_1(t) *f_2(t) = \int_{- \infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau$
四步图解法：
（1）换元： $t 换为 \tau \to f_1(\tau), f_2(\tau)$

（2）反转平移（折叠平移）： $f_2(\tau)反转\to f_2(-\tau),再右移t\to f_2(-(\tau -t))=f_2(t- \tau)$【左加右减在 $\tau$的里面】

（3）乘积： $f_1(\tau) f_2(t - \tau)$

（4）积分： $\tau$从 $-\infty$到 $+\infty$对乘积项积分

总结：图解法步骤比较繁杂，但是按照四步法“战略”就可以一步步把题目搞定。不过，图解法对于求某一时刻的卷积值还是比较方便的，对于简单的信号，通过画图就可以直观的求出某一时刻的卷积值。

五、卷积积分的性质

1、奇异（冲激）函数的卷积特性

1、 $f(t)*\delta(t) = \delta(t)* f(t) = f(t)$

2、 $f(t)* \delta'(t) = f'(t) , f(t)* \delta^{(n)}(t) = f^{(n)}(t)$

3、 $f(t)*\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \epsilon(t- \tau)d\tau = \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau$

$\epsilon(t)*\epsilon(t) = t\epsilon(t)$【重点关注】

2、卷积的微积分性质

3、卷积的时移特性

卷积的时移特性说白了就是：一个卷积积分，时间 $t$ 无论左移还是右移，其积分值等于相应函数左移或右移后的函数值。下面通过一个公式来说明：
若： $f(t)=f_1(t)*f_2(t),$
则： $f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2) \\ = f_1(t-t_1-t_2)*f_2(t)\\ = f_1(t)*f_2(t-t_1-t_2)\\ =f (t-t_1-t_2)$

总结

连续系统的时域分析，重点难点内容，多看、多做、多动手。

零输入、零状态、阶跃、冲激
卷积积分【重点关注】

上一篇笔记承蒙各位小伙伴的厚爱，访问量蹭蹭上涨，然而我不食言，继续更，希望喜欢。
如果文章中有哪些知识点写错的地方，欢迎私信我
如果文章中哪些知识点不理解的地方，欢迎私信我
如果文章中还有哪些需要补充的地方，欢迎私信我

码字不易，大家的支持就是我坚持下去的动力。点赞后不要忘了关注我哦！