最大最小公倍数

问题描述

已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。
输入格式

输入一个正整数N。
输出格式
输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。
样例输入
9
样例输出
504
数据规模与约定

1 <= N <= 106。

求解：

NO.1
刚看到题目，有点无从下手，最初的想法便是，通过遍历所有3个数字的组合形式求出他们的最小公倍数，然后从其中选取最大值。
但是这个想法马上就被自己pass掉了，原因无他，数据量太过于庞大，而且其中用来求最小公约数的方法会用到递归（a,b的最大公倍数 = a * b * gcd(a, b), gcd用来求最小公约数），必定会运行超时。没有好的想法，于是查看了网上的解决方案。

最好的解决方案就是先在数学层面将问题化简，然后辅以代码。
数学分析思路如下：

思路：若n 和 n-1和n-2 三个数两两互质的话，那么结果就是这三个数的积。

根据数论知识：任意大于1的两个相邻的自然数都是互质的.

当n是奇数时，n和n-2都是奇数，n-1是偶数,那么他们三个的公约数肯定不是2。因为这三个数是连续的，所以大于2的数都不可能成为他们或其中任意两个数的公约数了，结果就是他们三个的乘积.
当n为偶数时，n*(n-1)(n-2)肯定不行，因为n和n-2都是偶数，那么只能将n-2改成n-3，即n(n-1)*(n-3),如果这三个数两两互质，那么肯定就是结果。但是因为n和n-3相差3,所以当其中一个数能被3整除时，另一个肯定也可以；而当其中一个不可以时，另一个肯定也不可以；因为n为偶数,n-3为奇数，所以2不可能成为他俩的公因子。对于大于3的数，肯定就都不可能成为这三个数或者其中任意两个数的公约数了.因此只需再对3进行判断：
如果n能整除3，那么，n*(n-1)(n-3)就肯定不行了，因为n和n-3有了公约数3，结果肯定小了。那么就只能继续判下一个即n(n-1)(n-4)而这样n-4又是偶数，不行继续下一个n(n-1)(n-5）=n^3 -6*n^2 + 5*n ，而如果这个可以，那么其值肯定要小于(n-1)(n-2)(n-3) = n^3-6*n^2+11n-6(对于n>1来说都成立),而(n-1)(n-2)(n-3)由上一个奇数结论可知是一个符合要求的。因此，到n-5就不用判断了，答案为(n-1)(n-2)*(n-3)；
若n不能整除3，那么结果就是n*(n-1)*(n-3)，因为n和n-3都不能整除3,此时n-1能不能整除3都无关紧要了，而对于其它数都是不可能的，上面已证。

参考链接

解决代码如下：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

/** 
 * @author 作者 : Cactus
 * @version 创建时间：2018-3-19 下午07:45:10 
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        BigInteger N = new BigInteger(String.valueOf(n));
        sc.close();
        BigInteger N1 = new BigInteger(String.valueOf(n - 1));
        BigInteger N2 = new BigInteger(String.valueOf(n - 2));
        BigInteger N3 = new BigInteger(String.valueOf(n - 3));
        if(n <= 2){
            System.out.println(N);
        }else if(n % 2 != 0){
            System.out.println(N.multiply(N1.multiply(N2)));
        }else{
            if(n % 3 != 0){
                System.out.println(N.multiply(N1.multiply(N3)));
            }else{
                System.out.println(N1.multiply(N2.multiply(N3)));
            }
        }

    }
}

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