最速下降法

在处理无穷积分时，高阶项是发散的，渐进结果意味着截断部分是真实值的近似，且截断误差与余项的首项同阶。\\
讨论的积分为：
%%    目标积分
\begin{equation}
I = \mathop{\int}^{\infty}_{-\infty}e^{-\dfrac{1}{2}a^2z^2}f\left(z\right)\mathrm{d}z
\end{equation}
其中$a$是一个很大的实数，函数$f\left(z\right)$在$z=0$处解析，且以实轴为边界。在收敛域中对$f\left(z\right)$展开：
%%    泰勒展式
\begin{equation}
f\left(z\right)=a_0+a_1z+a_2z^3+\dots+a_{2n-1}z^{2n-1}+R_{2n}\left(z\right)
\end{equation}
当$z\to 0$，$z^{-2n}R_{2n}\left(z\right)$趋向有限极限。\\
则函数：
%%    截断误差函数g(z)
\begin{equation}
\begin{split}
g\left(z\right)=&\dfrac{\left[f\left(z\right)-\left(a_0+a_1z+\dots+a_{2n-1}z^{2n-1}\right)\right(ht]}{z^{2n}}\\
=&z^{-2n}R_{2n}\left(z\right)
\end{split}
\end{equation}
以实轴为边界；取$g\left(z\right)$模数上界为$M$。则有：
%%    上界 技巧
\begin{equation}\label{unequation}
\begin{split}
& \left|\mathop{\int}^{\infty}_{-\infty}e^{-\dfrac{1}{2}a^2z^2}\left[f\left(z\right)-\left(a_0+a_1z+a_2z^3+\dots+a_{2n-1}z^{2n-1}\right)\right]\mathrm{d}z\right| \leqslant \\
\leqslant & \mathop{\int}^{\infty}_{-\infty}e^{-\dfrac{1}{2}a^2z^2}\cdot M \cdot z^{2n}\mathrm{d}z
\end{split}
\end{equation}
另外，根据Dwight$\left(1957，861.7,p.201\right)$有：
%%    积分 还需要继续研究
\begin{equation}\label{Dwight}
\mathop{\int}^{\infty}_{-\infty}e^{-\dfrac{1}{2}a^2z^2}z^{2n}\mathrm{d}z
= \sqrt{2\pi}\dfrac{1\cdot 3\cdots \left(2n-1\right)}{a^{2n+1}}
\end{equation}
将[\ref{unequation}]式带入[\ref{Dwight}]式得到：
%%    积分结果和不等关系的结果
\begin{equation}\label{useable}
\begin{split}
&\left| \mathop{\int}^{\infty}_{-\infty}e^{-\dfrac{1}{2}a^2z^2}f\left(z\right)\mathrm{d}z -  \sqrt{2\pi} \left[\dfrac{a_0}{a}+\dfrac{a_2}{a^2}+\dfrac{1\cdot3a_4}{a^4}+\cdots+\dfrac{1\cdot3\cdots\left(2n-3\right)a_{2n-2}}{a^{2n-1}} \right]\right| \\
\leqslant & \mathop{\int}^{\infty}_{-\infty} e^{-\dfrac{1}{2}a^2z^2} \cdot M \cdot z^{2n} \mathrm{d}z\\
= & \sqrt{2\pi}\cdot M\dfrac{1\cdot3\cdots\left(2n-1\right)}{a^{2n+1}}
\end{split}
\end{equation}
[\ref{useable}]式两边乘以$a^{2n}$，并令$a\to \infty$
%%    同阶化操作
\begin{equation}
\begin{split}
&\left| \mathop{\int}^{\infty}_{-\infty} e^{-\dfrac{1}{2}a^2z^2}f\left(z\right)\mathrm{d}z -  \sqrt{2\pi} \left[\dfrac{a_0}{a}+\dfrac{a_2}{a^2}+\dfrac{1\cdot3a_4}{a^4}+\cdots+\dfrac{1\cdot3\cdots\left(2n-3\right)a_{2n-2}}{a^{2n-1}} \right]\right|a^{2n} \\
\leqslant & \sqrt{2\pi}\cdot M\dfrac{1\cdot3\cdots\left(2n-1\right)}{a} \\
\end{split}
\end{equation}对上式进行化简：
%%    化简
\begin{equation}\label{simplified}
\left|\alpha\right|\cdot a^{2n} \leqslant \dfrac{\beta}{\alpha}
\end{equation}
可以看到，当$a\to \infty$时，[\ref{simplified}]式变成：
\begin{equation}
\left|\alpha\right|\cdot\infty\simeq 0
\end{equation}
即，只有$\alpha =0$时才满足上述渐进式：
%%    最终结果
\begin{equation}\label{unfold}
I\simeq\sqrt{2\pi} \left[\dfrac{a_0}{a}+\dfrac{a_2}{a^2}+\dfrac{1\cdot3a_4}{a^4}+\cdots+\dfrac{1\cdot3\cdots\left(2n-3\right)a_{2n-2}}{a^{2n-1}} \right]
\end{equation}
Ben的文章中使用的只是[\ref{unfold}]的第一阶近似。
%%%%
\paragraph{最速下降法}
和上一段讨论的对象类似，为了便于讨论，本段的目标积分：
%%    目标积分
\begin{equation}\label{zim}
I = \mathop{\int}^B_A \chi\left(z\right)e^{tf\left(z\right)}\mathrm{d}z
\end{equation}
中文文献中提到$t$是很大的实数，这与上一段$a$的作用相同。$f\left(z\right)$在地震波方程中是依赖波数、频率的宗量函数，在$z$平面解析，设为：
\begin{equation}\label{fz}
f\left(z\right)=\varphi\left(x,y\right)+\mathrm{i}\psi\left(x,y\right)
\end{equation}
$z$在地震波问题中表示波数，$x$、$y$分别表示波数的实部和虚部。在实数轴上对$z$进行积分表示$Fourier$逆变换，当$f\left(z\right)$的实部$\phi$值比较大时，整个积分值也很大。通过选择积分路径，使得$\phi$在$f\left(z\right)$展开点附近达到最大。\par
    微分[\ref{fz}]式得到柯西-黎曼条件：
此处省略若干复变函数知识。\par
    [1]积分路径选取时，首先确定最大$\phi$值区域。找到$\phi$的稳定点，这些点处$\phi$的导数为零：
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{d}\phi = & \phi_x \mathrm{d}x + \phi_y \mathrm{d}y = 0 \\
\phi_x = & \phi_y = 0
\end{split}
\end{equation}
    [2]积分路径是$\phi$下降最快的，此即要求路径
\begin{equation}
\mathrm{tan}\theta = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\phi\left(z\right)}{\mathrm{d}x}}{\dfrac{\mathrm{d}\phi\left(z\right)}{\mathrm{d}y}}
\end{equation}
由柯西-黎曼条件可以得到：
\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{tan}\theta = & - \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\psi\left(z\right)}{\mathrm{d}x}}{\dfrac{\mathrm{d}\psi\left(z\right)}{\mathrm{d}y}} \\
\mathrm{d} \psi = & \psi_x \mathrm{d}x + \psi_y \mathrm{d} y = 0;
\end{split}
\end{equation}
即$\psi$沿积分路径是一个常数。\par
求令$\mathrm{d}f\left(z\right)=0$的$z$点。现考察最速路径点任意方向$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$的曲率：
\begin{equation}
\mathrm{d}^2\phi = \phi_{xx}\mathrm{d}x^2 +2\phi_{xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \phi_{yy}\mathrm{d}y^2
\end{equation}
垂直该方向的曲率：
\begin{equation}
\mathrm{d}^2\phi_{\bot} = \phi_{xx}\mathrm{d}y^2 - 2\phi_{xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \phi_{yy}\mathrm{d}x^2
\end{equation}
上面的结果结合柯西-黎曼条件得到：
\begin{equation}
\mathrm{d}^2\phi + \mathrm{d}^2\phi_{\bot} = \left( \phi_{xx} + \phi_{yy} \right)\left( \mathrm{d}x^2 +\mathrm{d}y^2 \right) = 0
\end{equation}
在实际的复平面中，积分上下界可能并不处于同一条最速路径上，此时$A$、$B$两点可以通过谷中的曲线相互连接。\par
    在$z=z_0$附近，可以把$f\left(z\right)$展开为级数，考虑$f`\left(z_0\right) =0$：
\begin{equation}\label{ex}
\begin{split}
f\left(z\right) & = f\left(z_0\right)+\dfrac{1}{2}\left(z=z_0\right)^2f'' \left(z_0\right)+\cdots \\
f\left(z\right) & - f\left(z_0\right) =  -\dfrac{1}{2}\zeta^2
\end{split}
\end{equation}
定义了新变数$\zeta$，如果路径满足最速下降要求，$f''\left(z_0\right)$要为负实数。由于$\psi$在整个积分路径上都为0，因此$\left(z-z_0\right)^2f''\left(z_0\right)$恒为负实数。将[\ref{ex}]带入[\ref{zim}]得到：
\begin{equation}
\begin{split}
I = & e^{tf\left(z\right)} \int \chi\left(z\right) e^{-\dfrac{1}{2}t\zeta^2}\mathrm{d}z \\
= & e^{tf\left(z\right)} \int \chi\left(z\right) e^{-\dfrac{1}{2}t\zeta^2}\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\zeta}\mathrm{d}\zeta
\end{split}
\end{equation}
注意到，这里的$f\left(z\right)$是上一段中的$a^2z^2$部分。不同于实际应用，$x$在此处对应$\zeta$的实部，也即地震波传播过程中的实部项。积分路径与$x$轴的夹角设为$\alpha$，依此确定路径：
\begin{equation} \label{useaa}
\begin{split}
z-z_0 = & r e^{\mathrm{i}\alpha} \\
\zeta^2 = & -f''\left(z_0\right)r^2 e^{2\mathrm{i}\alpha} = r^2\left| f''\left(z_0\right)e^{2\mathrm{i}\alpha} \right| \\
\zeta = & \pm r\left| f''\left(z_0\right) \right|^{1/2} \\
\dfrac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}z} = & \pm e^{-\mathrm{i}\alpha} \left| f''\left(z_0\right) \right|^{1/2}
\end{split}
\end{equation}
依需要，选取[\ref{useaa}]式中的正号，并借助于[\ref{unfold}]，仅保留第一项得到：
\begin{equation}
I \simeq \dfrac{\chi\left(z_0\right)e^{tf\left(z_0\right)}\sqrt{2\pi}e^{\mathrm{i}\alpha}}{\left| tf''\left(z_0\right) \right|^{1/2}}
\end{equation}
当鞍点附近存在极点时，该方法需要修改。
\subsection{Laplace`s Method}
\begin{equation}
\int^b_a e^{Mf\left(x\right)} \mathrm{d}x
\end{equation}
其中$f\left(x\right)$是二阶可微函数，$M$是一个很大的数，积分的上下限可以取到无穷。\\
首先$x$不是积分区间的上下界，$x_0$邻域外，$f\left(x\right)$与$f\left(x_0\right)$值相差很大
\begin{align}
f\left(x\right) = & f\left(x_0\right)+f`\left(x_0\right)\left(x-x_0\right) + f``\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)^2 + R\\
R = & O\left(\left(x-x_0\right)^3\right) \\
\end{align}