用Python实现最速下降法求极值

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对于一个多元函数$f(x)=f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$，用最速下降法（又称梯度下降法）求其极小值的迭代格式为

$$x_{k+1}=x_{k}+\alpha_{k}d_{k}$$

其中$d_{k}=-g_{k}=-\nabla f(x_{k})$为负梯度方向，即最速下降方向，$\alpha_{k}$为搜索步长。

一般情况下，最优步长$\alpha_{k}$的确定要用到线性搜索技术，比如精确线性搜索，但是更常用的是不精确线性搜索，主要是Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。

为了调用的方便，编写一个Python文件，里面存放线性搜索的子函数，命名为linesearch.py，这里先只编写了Goldstein线性搜索的函数，关于Goldstein原则，可以参看最优化课本。

线性搜索的代码如下（使用版本为Python3.3）：

'''
线性搜索子函数
'''

import numpy as np
import random

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):

    flag=0

    a=0
    b=alpham
    fk=f(x)
    gk=df(x)

    phi0=fk
    dphi0=np.dot(gk,d)

    alpha=b*random.uniform(0,1)

    while(flag==0):
        newfk=f(x+alpha*d)
        phi=newfk
        if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):
            if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):
                flag=1
            else:
                a=alpha
                b=b
                if(b<alpham):
                    alpha=(a+b)/2
                else:
                    alpha=t*alpha
        else:
            a=a
            b=alpha
            alpha=(a+b)/2
    return alpha

上述函数的输入参数主要包括一个多元函数f，其导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，返回值是根据Goldstein准则确定的搜索步长。

我们仍以Rosenbrock函数为例，即有

$$f(x)=100(x_{2}-x_{1}^{2})^{2}+(1-x_{1})^{2}$$

于是可得函数的梯度为

$$g(x)=\nabla f(x)=(-400(x_{2}-x_{1}^2)x_{1}-2(1-x_{1}),200(x_{2}-x_{1}^2))^{T}$$

最速下降法的代码如下：

"""
最速下降法
Rosenbrock函数
函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import linesearch
from linesearch import  goldsteinsearch

def rosenbrock(x):
    return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2

def jacobian(x):
    return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])


X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线

def steepest(x0):

    print('初始点为:')
    print(x0,'\n')    
    imax = 20000
    W=np.zeros((2,imax))
    W[:,0] = x0
    i = 1     
    x = x0
    grad = jacobian(x)
    delta = sum(grad**2)  # 初始误差


    while i<imax and delta>10**(-5):
        p = -jacobian(x)
        x0=x
        alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)
        x = x + alpha*p
        W[:,i] = x
        grad = jacobian(x)
        delta = sum(grad**2)
        i=i+1

    print("迭代次数为:",i)
    print("近似最优解为:")
    print(x,'\n')    
    W=W[:,0:i]  # 记录迭代点
    return W

x0 = np.array([-1.2,1])
W=steepest(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()

为了实现不同文件中函数的调用，我们先用import函数导入了线性搜索的子函数，也就是下面的2行代码

import linesearch
from linesearch import  goldsteinsearch

当然，如果把定义goldsteinsearch函数的代码直接放到程序里面，就不需要这么麻烦了，但是那样的话，不仅会使程序显得很长，而且不便于goldsteinsearch函数的重用。

此外，Python对函数式编程也支持的很好，在定义goldsteinsearch函数时，可以允许抽象的函数f，df作为其输入参数，只要在调用时实例化就可以了。与Matlab不同的是，传递函数作为参数时，Python是不需要使用@将其变为函数句柄的。

运行结果为

初始点为:
[-1.2  1. ] 

迭代次数为: 1504

近似最优解为:
[ 1.00318532  1.00639618]

迭代点的轨迹为

由于在线性搜索子程序中使用了随机函数，初始搜索点是随机产生的，因此每次运行的结果不太相同，比如再运行一次程序，得到

初始点为:
[-1.2  1. ] 

迭代次数为: 1994

近似最优解为:
[ 0.99735222  0.99469882] 

所得图像为