Python梯度法——最速下降法

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假设我们已经知道梯度法——最速下降法的原理。

现给出一个算例：

如果人工直接求解：

现给出Python求解过程：

import numpy as np
from sympy import *
import math
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.axisartist as axisartist

# 定义符号
x1, x2, t = symbols('x1, x2, t')

def func():
    # 自定义一个函数
    return pow(x1, 2) + 2 * pow(x2, 2) - 2 * x1 * x2 - 2 * x2

def grad(data):
    # 求梯度向量,data=[data1, data2]
    f = func()
    grad_vec = [diff(f, x1), diff(f, x2)]  # 求偏导数,梯度向量
    grad = []
    for item in grad_vec:
        grad.append(item.subs(x1, data[0]).subs(x2, data[1]))
    return grad

def grad_len(grad):
    # 梯度向量的模长
    vec_len = math.sqrt(pow(grad[0], 2) + pow(grad[1], 2))
    return vec_len

def zhudian(f):
    # 求得min(t)的驻点
    t_diff = diff(f)
    t_min = solve(t_diff)
    return t_min

def main(X0, theta):
    f = func()
    grad_vec = grad(X0)
    grad_length = grad_len(grad_vec)  # 梯度向量的模长
    k = 0
    data_x = [0]
    data_y = [0]
    while grad_length > theta:  # 迭代的终止条件
        k += 1
        p = -np.array(grad_vec)
        # 迭代
        X = np.array(X0) + t*p
        t_func = f.subs(x1, X[0]).subs(x2, X[1])
        t_min = zhudian(t_func)
        X0 = np.array(X0) + t_min*p
        grad_vec = grad(X0)
        grad_length = grad_len(grad_vec)
        print('grad_length', grad_length)
        print('坐标', X0[0], X0[1])
        data_x.append(X0[0])
        data_y.append(X0[1])

    print(k)

    # 绘图
    fig = plt.figure()
    ax = axisartist.Subplot(fig, 111)
    fig.add_axes(ax)
    ax.axis["bottom"].set_axisline_style("-|>", size=1.5)
    ax.axis["left"].set_axisline_style("->", size=1.5)
    ax.axis["top"].set_visible(False)
    ax.axis["right"].set_visible(False)
    plt.title(r'$Gradient \ method - steepest \ descent \ method$')
    plt.plot(data_x, data_y, label=r'$f(x_1,x_2)=x_1^2+2 \cdot x_2^2-2 \cdot x_1 \cdot x_2-2 \cdot x_2$')
    plt.legend()
    plt.scatter(1, 1, marker=(5, 1), c=5, s=1000)
    plt.grid()
    plt.xlabel(r'$x_1$', fontsize=20)
    plt.ylabel(r'$x_2$', fontsize=20)
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
	# 给定初始迭代点和阈值
    main([0, 0], 0.00001)

最终结果图如下所示：