互补滤波器

从 RC 电路到数字滤波器。

参考：wikiPedia

by luoshi006

原理

低通滤波器

一阶低通滤波器

传递函数

常见的 RC 电路构成的一阶低通滤波器的输入(U) 输出(Y)关系如下：

\frac{Y}{U} = \frac{1}{1 + R C \cdot S}

$\frac{Y}{U}=\frac{1}{1+RC\cdot S}$

其中，滤波器的截止频率为： $w_c=\frac{1}{RC}$ 。

将传函转换为微分形式：

y (t) + R C \frac{d y (t)}{d t} = x (t)

$y(t)+RC \frac{dy(t)}{dt}=x(t)$

$\frac{dy(t)}{dt}=差分=\frac{y(k)-y(k-1)}{\Delta t}$ ，代入得到差分形式：

y (k) = \frac{R C}{Δ t + R C} y (k - 1) + \frac{Δ t}{Δ t + R C} x (k)

$y(k)=\frac{RC}{\Delta t+RC}y(k-1)+\frac{\Delta t}{\Delta t+RC}x(k)$

由近似公式：

\frac{1}{1 + Δ t / R C} \dot{=} 1 - \frac{Δ t}{R C}

$\frac{1}{1+\Delta t/RC}\dot= 1-\frac{\Delta t}{RC}$

可得：

y (k) = (1 - \frac{Δ t}{R C}) y (k - 1) + \frac{Δ t}{R C} x (k)

$\color{blue}{y(k) = (1-\frac{\Delta t}{RC})y(k-1) + \frac{\Delta t}{RC} x(k)}$

即，一阶低通滤波的差分形式。

二阶低通滤波

过程略；

y (k) = \frac{2 (1 + σ Δ t)}{1 + 2 σ Δ t + ω_{0}^{2} Δ t^{2}} y (k - 1) - \frac{1}{1 + 2 σ Δ t + ω_{0}^{2} Δ t^{2}} y (k - 2) + \frac{ω_{0}^{2} Δ t^{2}}{1 + 2 σ Δ t + ω_{0}^{2} Δ t^{2}} x (k)

$y(k)=\frac{2(1+\sigma\Delta t)}{1+2\sigma \Delta t+ \omega^2_0 \Delta t^2} y(k-1) - \frac{1}{1+2 \sigma \Delta t+\omega^2_0 \Delta t^2} y(k-2) + \frac{\omega^2_0 \Delta t^2}{1+2 \sigma \Delta t + \omega^2_0 \Delta t^2}x(k)$

其中， $\sigma = \frac{R}{2L} , \omega^2_0 = \frac{1}{LC}$ 。

高通滤波器

依然使用RC电路为模型。
传递函数为：

G (s) = \frac{1}{1 + \frac{1}{R C \cdot S}}

$G(s)=\frac {1}{1+\frac{1}{RC\cdot S}}$

= \frac{R C \cdot S}{R C \cdot S + 1}

$=\frac {RC\cdot S}{RC \cdot S+1}$

******************* 内容仅作参考 *******************************
由 $s=\frac {Z-1}{T}$变换：

$$U\cdot RC \cdot Z - U\cdot RC=Y\cdot RC \cdot Z- Y\cdot RC+Y\cdot T$$

Z反变换：

$$Y(k+1)=U(k+1)-U(k)+(1-\frac{T}{RC}) Y(k)$$

将传函转化为微分形式：

R C \cdot \frac{d y (t)}{d t} + y (t) = R C \cdot \frac{d x (t)}{d t}

$RC\cdot \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=RC \cdot \frac{dx(t)}{dt}$

转换为差分形式：

y (k) = \frac{R C}{R C + T} y (k - 1) + \frac{R C}{R C + T} (x (k) - x (k - 1))

$y(k)=\frac{RC}{RC+T}y(k-1)+\frac{RC}{RC+T}(x(k)-x(k-1))$