「LuoguP3379」 【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含三个正整数N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来N-1行每行包含两个正整数x、y，表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来M行每行包含两个正整数a、b，表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式：

输出包含M行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

输出样例#1： 复制

4
4
1
4
4

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：2、4的最近公共祖先，故为4。

第二次询问：3、2的最近公共祖先，故为4。

第三次询问：3、5的最近公共祖先，故为1。

第四次询问：1、2的最近公共祖先，故为4。

第五次询问：4、5的最近公共祖先，故为4。

故输出依次为4、4、1、4、4。

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题解

其实是放一下代码

众所周知，LCA有几种常见的做法

• 暴力跳
  • 先把较深的往上跳，跳到同一深度
  • 然后一起跳
  • 单次复杂度$O(n)$分分钟带你上天
• 倍增
  • 在跳的时候优化一下，不一格一格的跳，而是拆分成二进制跳
  • 需要预处理出每个点往上$2^i$步的祖先，
  • 时间复杂度$O(nlogn+mlogn)$，空间复杂度$O(nlogn)$
• 

   1 /*
   2     qwerta
   3     P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
   4     Accepted
   5     100
   6     代码 C++，1.37KB
   7     提交时间 2018-03-13 18:33:35
   8     耗时/内存
   9     1672ms, 51789KB
  10 */
  11 #include<iostream>
  12 #include<cstdio>
  13 #include<algorithm>
  14 using namespace std;
  15 struct emm{
  16     int f,e;
  17 }a[1000007];
  18 int h[500007];
  19 int d[500007];
  20 int p[500007][20];
  21 void dfs(int no,int fa)
  22 {
  23     d[no]=d[fa]+1;
  24     //cout<<no<<" "<<d[no]<<" "<<fa<<endl;
  25     p[no][0]=fa;
  26     int w;
  27     for(w=1;w<20;w++)
  28     p[no][w]=p[p[no][w-1]][w-1];
  29     for(w=h[no];w;w=a[w].f)
  30     {
  31         if(a[w].e!=fa)
  32         dfs(a[w].e,no);
  33     }
  34     return;
  35 }
  36 int main()
  37 {
  38     int c=0,x,y,n,m,s,i,j;
  39     scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
  40     for(i=1;i<n;++i)
  41     {
  42         scanf("%d%d",&x,&y);
  43         ++c;
  44         a[c].f=h[x];
  45         h[x]=c;
  46         a[c].e=y;
  47         ++c;
  48         a[c].f=h[y];
  49         h[y]=c;
  50         a[c].e=x;
  51         d[i]=99999999;
  52     }
  53     d[n]=99999999;
  54     dfs(s,0);
  55     for(i=1;i<=m;++i)
  56     {
  57         scanf("%d%d",&x,&y);
  58         if(d[x]<d[y])swap(x,y);
  59         for(j=19;j>=0;--j)
  60         {
  61             if((d[x]-d[y])>=(1<<j))
  62             {
  63                 x=p[x][j];
  64                 //cout<<x<<" ";
  65             }
  66         }
  67         if(x==y)printf("%d\n",x);
  68         else{
  69         for(j=19;j>=0;--j)
  70         {
  71             if(p[x][j]!=p[y][j])
  72             {
  73                 x=p[x][j];
  74                 y=p[y][j];
  75             }
  76         }
  77         printf("%d\n",p[x][0]);}
  78     }
  79     /*
  80     for(i=1;i<=n;i++)
  81     {
  82     cout<<i<<" ";
  83     for(j=0;j<=19;j++)
  84     cout<<p[i][j]<<" ";
  85     cout<<endl;
  86     }*/
  87     return 0;
  88 }

  倍增求LCA

• ST表
  • 原理：dfs序在这两点之间的点中，深度最小的点为lca
  • 所以记录dfs序