李航《统计学习方法》第六章——用Python实现逻辑斯谛回归（MNIST数据集）

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第六章有两个算法，分别是逻辑斯谛回归与最大熵模型
逻辑斯谛回归可以看成最大熵模型的一种特例，最大熵模型的代码已经写好了，小数据集下测试正常，但放到MNIST数据集下会产生指数爆炸的问题，我这几天再看看如何解决吧！

逻辑斯谛回归

首先贴一下书上的算法

算法

可以看到这个算法与感知器算法贼像
感知器算法

当 Y = 1 时，$w^ \mathrm{T}\cdot x$ 尽量等于 +1
当 Y = 0 时， $w^ \mathrm{T}\cdot x$ 尽量等于 -1

而罗吉斯蒂算法

当 Y = 1 时，$w^ \mathrm{T}\cdot x$ 尽量等于 $+\infty$
当 Y = 0 时， $w^ \mathrm{T}\cdot x$ 尽量等于 $-\infty$

根据我仅存一丢丢的集合论知识，好像(0,1)与($-\infty$,$+\infty$)是一一映射，所以两个算法在我看来没有什么本质区别的，可能区别在于浮点数精度上。

P.S. 如果理解有错，希望能在评论区告诉我！

参数估计

书上没有写出完整的参数估计算法，但给出了其对数似然函数，经过简单的证明可以得出该函数是单调上升，且其极限为0
因此，我们可以将-L(w)作为损失函数，用随机梯度下降的方法求解

$$\frac{\partial L(w)}{\partial w_j} = \sum_{i=1}^{N}{y_i x_{ij}-\frac{x_{ij}*exp(w\cdot x_i)}{1+exp(w\cdot x_i)}}$$

每次随机选取一个误分类点，用上述梯度对w进行更新即可，注意由于梯度中包含指数操作，所以需要一个很小的学习率。

数据集

数据集和感知器那个博文用的是同样的数据集。
数据地址：https://github.com/WenDesi/lihang_book_algorithm/blob/master/data/train_binary.csv

特征

将整个图作为特征

代码

代码已放到Github上，这边也贴出来，因为算法还挺简单的，所以没有加什么注释，

# encoding=utf-8
# @Author: WenDesi
# @Date:   08-11-16
# @Email:  [email protected]
# @Last modified by:   WenDesi
# @Last modified time: 08-11-16

import time
import math
import random

import pandas as pd
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score


class LogisticRegression(object):

    def __init__(self):
        self.learning_step = 0.00001
        self.max_iteration = 5000

    def predict_(self,x):
        wx = sum([self.w[j] * x[j] for j in xrange(len(self.w))])
        exp_wx = math.exp(wx)

        predict1 = exp_wx / (1 + exp_wx)
        predict0 = 1 / (1 + exp_wx)

        if predict1 > predict0:
            return 1
        else:
            return 0


    def train(self,features, labels):
        self.w = [0.0] * (len(features[0]) + 1)

        correct_count = 0
        time = 0

        while time < self.max_iteration:
            index = random.randint(0, len(labels) - 1)
            x = list(features[index])
            x.append(1.0)
            y = labels[index]

            if y == self.predict_(x):
                correct_count += 1
                if correct_count > self.max_iteration:
                    break
                continue

            # print 'iterater times %d' % time
            time += 1
            correct_count = 0

            wx = sum([self.w[i] * x[i] for i in xrange(len(self.w))])
            exp_wx = math.exp(wx)

            for i in xrange(len(self.w)):
                self.w[i] -= self.learning_step * \
                    (-y * x[i] + float(x[i] * exp_wx) / float(1 + exp_wx))


    def predict(self,features):
        labels = []

        for feature in features:
            x = list(feature)
            x.append(1)
            labels.append(self.predict_(x))

        return labels

if __name__ == "__main__":
    print 'Start read data'

    time_1 = time.time()

    raw_data = pd.read_csv('../data/train_binary.csv',header=0)
    data = raw_data.values

    imgs = data[0::,1::]
    labels = data[::,0]


    # 选取 2/3 数据作为训练集， 1/3 数据作为测试集
    train_features, test_features, train_labels, test_labels = train_test_split(imgs, labels, test_size=0.33, random_state=23323)

    time_2 = time.time()
    print 'read data cost ',time_2 - time_1,' second','\n'

    print 'Start training'
    lr = LogisticRegression()
    lr.train(train_features, train_labels)

    time_3 = time.time()
    print 'training cost ',time_3 - time_2,' second','\n'

    print 'Start predicting'
    test_predict = lr.predict(test_features)
    time_4 = time.time()
    print 'predicting cost ',time_4 - time_3,' second','\n'

    score = accuracy_score(test_labels,test_predict)
    print "The accruacy socre is ", score

运行结果

训练速度挺慢的，但正确率还行

对比实验

感知器与逻辑斯谛实在是太像了，必须要比一比
我们依然用MNIST数据集，进行十次实验，下图是实验结果，蓝色是感知器，橙色是逻辑斯谛。
可以看出逻辑斯谛回归模型正确率上还是优于感知器模型的，原因可能就像我之前说的，是浮点数精度等问题