最大和连续子数组

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题目

对于一个整数数组，求其连续子数组的最大和。

• 测试输入
  7
  -2 5 3 -6 4 -8 6
• 测试输出
  8

分析

可以从后向前考虑问题。数组$array[i]$，$i=0\sim n-1$，定义$total[i]$表示前$i$个元素中连续子数组的最大和，如果子数组不以$array[i]$结尾，则$total[i]=total[i-1]$；而如果子数组以$array[i]$结尾，可知$array[i-1]$，$array[i-2]$，$\cdots$ 也一定被选中，一直到某个元素截止。由此可由动态规划来求解，但是和一般的动态规划有区别。因为截止元素未知，我们不知道当前$total[i]$是从哪个元素开始的子数组最大和。实际上我们并不用知道开始元素，只需要维护一个变量$tail[i]$，它表示以$array[i]$结尾的子数组最大和，如果子数组加上$array[i]$才有最大和，则$tail[i]=tail[i-1]+array[i]$；而如果子数组加上$array[i]$其和反而更小，说明当前子数组应该放弃$array[i]$，考虑到子数组必须连续，所以当前子数组结束，$array[i]$就成为下一段新子数组的开始元素，$tail[i]=array[i]$。递归式为

$$\left\{\begin{array}{rll} tail[i]& = & \textrm{max}(array[i],\ tail[i-1]+array[i])\\ total[i]& = & \textrm{max}(total[i-1],\ tail[i]) \end{array}\right.$$

空间优化

由递归式可以看出，只需要遍历一遍就可以得到，因此时间复杂度为$O(n)$。而$tail[i]$和$total[i]$也只和$i-1$状态有关，故可以只设置为两个整数即可，空间可以优化到$O(1)$。

代码

import java.util.Scanner;

public class MaxSum {
    static int solution(int[] array) {
        int n = array.length;
        int[] tail = new int[n];
        int[] total = new int[n];
        tail[0] = total[0] = array[0];
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            tail[i] = Math.max(array[i], tail[i - 1] + array[i]);
            total[i] = Math.max(total[i - 1], tail[i]);
        }
        return total[n - 1];
    }

    static int solution2(int[] array) {
        int tail = array[0];
        int total = array[0];
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            tail = Math.max(array[i], tail + array[i]);
            total = Math.max(total, tail);
        }
        return total;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] array = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            array[i] = sc.nextInt();
        }
        System.out.println(solution(array));
    }
}