【矩阵乘法】洛谷P5004 专心OI - 跳房子

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$Description$

从第一个格子跳到第 $n$个格子，每次至少跳 $m+1$格，求方案数

或者
把 $n$个无色格子排成一行，可以把某些格子染成黑色，但两个黑色格子之间必须至少有 $m$个无色格子，求方案数

$n\leq 10^{18},m\leq 15$

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$Solution$

首先第 $i$个格子显然可以从第
$f[i]=\sum_{j=0}^{i-m}f[j]$
然后方案数显然是 $f[n+m]$（因为可以跳出去）
然后就愉快 $n^2$

从染色的角度考虑，对于每个格子，不染色时方案书显然为 $f[i-1]$，染色的话则加上 $f[i-m+1]$，就得到了方程

$f[i]=f[i-1]+f[i-m+1]$
这样就愉快 $O(n)$了

但是酱紫距离满分还是有很大差距滴

$n\leq 10^{18}$想到了啥？，矩阵乘法！

愉快 $log$AC

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$Code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL WYC=1e9+7;
LL n;int m;
struct matrix
{
	LL a[18][18];
}x,ans;
matrix operator *(matrix a,matrix b) 
{
	matrix c;
	memset(&c,0,sizeof(c));
	for(register int i=0;i<=m;i++)
	 for(register int j=0;j<=m;j++)
	  for(register int k=0;k<=m;k++)
	   (c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j])%=WYC;
	return c;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%d",&n,&m);n--;
	x.a[m][m]=x.a[0][m]=1;
	for(register int i=0;i<=m;i++) ans.a[0][i]=i+2,x.a[i+1][i]=1;
	//初始化，前面m个格子的方案数显然为i+1，由于坐标从0开始所以是i+2
	//然后只有f[i]=f[i-1]+f[i-m-1]的，其它的f[i-k]=f[i-k]
	for(;n;n>>=1,x=x*x) 
	if(n&1) ans=ans*x;
	printf("%lld",ans.a[0][0]);
}