【LuoguP5004】 专心OI - 跳房子

首先这是一道计数类DP，那我们得先推式子，经过瞎掰乱凑，经过认真分析，我们可以得到这样的方程

F(N)=F(0)+F(1)+....+F(N-M-1)

所有F初值为1，F(1)=2

ANS=F(N+M);

那显然我们有这样的代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 const int M=1e9+7;
 6 using namespace std;
 7 inline int read(){
 8     char chr=getchar();    int f=1,ans=0;
 9     while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();}
10     while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();}
11     return ans*f;
12 }
13 void write(int x){
14     if(x<0) putchar('-'),x=-x;
15     if(x>9) write(x/10);
16     putchar(x%10+'0');
17 }int n,m,f[10000005];
18 int main(){
19     n=read(),m=read();
20     f[0]=1;f[1]=2;
21     for(int i=1;i<=n+m;i++){
22         f[i]=1;
23         for(int j=0;j<=i-m-1;j++)
24             if(f[i]+f[j]>M) f[i]=f[i]+f[j]-M;
25             else f[i]=f[i]+f[j];//卡一波时间
26     }cout<<f[n+m];
27     return 0;
28 }

显然这是O（n^2）的算法，然而面对N=1e18，这个算法可以去优化见鬼了，这样子由于语句比较简单，勉强可以过十万的数据大概30分

考虑优化：

我们先看一下上面的式子，尝试对这个式子变形...好吧，其实就是迭代，然后用鸽笼原理一通乱搞：

F(N)=F(N-1)+F(N-M-1)

ANS=F(N)

好了我们把这个东西优化得到了O(N)的算法：

期望得分：50pts

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 const int M=1e9+7;
 6 using namespace std;
 7 inline int read(){
 8     char chr=getchar();    int f=1,ans=0;
 9     while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();}
10     while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();}
11     return ans*f;
12 }
13 void write(int x){
14     if(x<0) putchar('-'),x=-x;
15     if(x>9) write(x/10);
16     putchar(x%10+'0');
17 }int n,m,f[10000005];
18 int main(){
19     n=read(),m=read();
20     f[0]=1;f[1]=2;
21     for(int i=2;i<=n;i++)
22         f[i]=(f[i-1]+f[max(i-m-1,0)])%M;
23     cout<<f[n];
24     return 0;
25 }

考虑继续优化

某个大佬说过1e18的数据考虑logn的算法，比如快速幂。

这既然是DP，那自然往矩阵乘法考虑。

　　考虑构造矩阵：m这么小，而且递推式中出现的常量只有m，显然矩阵的大小要往m*m考虑

　　m=1的时候斐波那契，显然不用我推了

　　看一下其他情况：

　　

 得到通式（写了的是1，其他是0）：