Part1:差分与离散变化率

众所周知,一个函数\(f(x)\)可微的必要条件是其连续.对于定义域非紧密的函数,显然是无导数可言的.然而,回忆导数的定义

\[ y'=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \]

我们设有一组\(n\)元点集\(\{(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),\dots,(x_n,f(x_n))\}\),且\(x_1,x_2,\dots,x_n\)构成以\(d\)为差的等差数列,定义

\[ \Delta y_i=y_i-y_{i-1},i=2,3,\dots,n \]

称为差分(difference),而

这正好与微分相应.同样地,定义

\[ y'_i=\frac{\Delta y_i}d=\frac{y_i-y_{i-1}}d,i=2,3,\dots,n \]

称为离散变化率(discrete rate of change),正好与导数相呼应.于是,微积分就被推广到了离散点集上.离散变化率的几何意义是连接相邻两点直线的斜率.当\(f\)为多项式时,差分也是一种线性算子,并会使多项式的阶数减少\(1\).

相应地,我们还可以定义高阶差分和高阶离散变化率:

\[ \Delta^k y_i=\Delta^{k-1}y_i-\Delta^{k-1} y_{i-1},i=2,3,\dots,n,k>1;\\ y^{(k)}_i=\frac{\Delta^k y}d,i=2,3,\dots,n,k\ge1. \]

特别地,我们定义:一组序列的\(0\)阶差分等于其本身.

可以发现,每求一次差分,序列就少一个元素,也对应着微分的"降阶"意义一样.然而,由于变量离散性,差分的顺序不同,结果也不同.因此,我们将上述定义的差分称作后向差分,并定义前向差分为:

\[ \Delta y_i=y_{i+1}-y_i,i=1,2,\dots,n-1 \]

也可定义中心差分为:

\[ \Delta y_i=\frac12(y_{i+1}-y_{i-1}),i=2,3,\dots,n-1 \]

Part2:前缀和与带权前缀和

回忆积分的定义:

\[ \int_{\alpha}^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi)\Delta x_i \]

相应地,定义变量的前缀和(prefix sum)为:

\[ \sigma(y_i)=\sum_{j=1}^i y_j+C \]

这对应着微积分中的不定积分.显然,前缀和是前向差分的逆运算,相应地定义

\[ \sigma(y)_l^r=\sum_{j=l}^r y_j+C \]

称为带权前缀和,对应着定积分.显然,\(y\)的任意一个子段和都可以表示成其前缀和的差,对应着任何一个定积分都可以表示为原函数的差一样.我们也可以相应地定义后缀和(suffix sum):

\[ \sigma(y_i)=\sum_{j=i}^n y_j+C \]

就是后向差分的逆运算.

待补.