BZOJ 1009&洛谷P3193-GT考试【HNOI2008】DP+KMP+矩阵快速幂

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题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1009

洛谷：https://www.luogu.com.cn/problem/P3193

Description

　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为
0

Input

　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100
111

Sample Output

emmmm。。。这题，不会。。。据说是矩阵加速DP配个KMP。。。

设$f[i][j]$为长串的第i个位置匹配短串的第j个为置，那么最终答案就是$ans=\sum_{j=0}^{m-1}f[n][j]$

接下来就是状态转移方程了，由$f[i][j]->f[i+1][k]$那么k是不确定的，有可能失配，那么就变成$f[i+1][0]$了也有可能刚好是下一个即$f[i+1][j+1]$，当然也有可能是j之后失配掉落下来的。所以状态转移方程就出来了：

$f[i][j]=\sum_{k=0}^{9}f[i-1][p]$ 表示为在短串中对于数字k失配到短串第j位的数量总和。

那么怎么求数字k失配到短串中第j位的数量呢？其实讲到失配的话我们很容易想到KMP算法的next数组，求出next数组后我们对每一个数字（即0到9走一遍）：

get_fail(m,s);
for (int i=0; i<m; i++)
    for (char ch='0'; ch<='9'; ch++){
        int j=i;
        while (j && s[j+1]!=ch) j=nx[j];
        if (s[j+1]==ch) j++;
        g[i][j]++;//从第i位跳到第j位有多少个数字
    }

把方程整理一下得：$f[i][j]=\sum_{k=0}^{m-1}f[i-1][k]*g[k][j] $

然后考虑一下n实在太大了，即使是线性的复杂度也过不了，所以对这种有点递推意味的式子我们考虑用矩阵快速幂加速一下

我们认真观察一下就好发现，$f[0][0]=1$，我们将第二维压缩合并一下以F[i]代替，g[][]由于是固定的，我们用G代替，那么根据上式可得$F[1]=G，F[2]=F[1]\times G...$

即：$F[n]=G^{n}$

然后跑个矩阵快速幂，将最终答案乘以$F[0]$那么最终的答案就是：$ans=\sum_{i=0}^{m-1}f[][i]$

以下是没有加速的代码（洛谷上40分）：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int mac=1e6+10;

char s[50];
int nx[50],g[50][50],f[mac][30];

void get_fail(int n,char *s)
{
    int j=0;
    for (int i=2; i<n; i++){
        while (j && s[j+1]!=s[i]) j=nx[j];
        if (s[j+1]==s[i]) j++;
        nx[i]=j;
    }
}

int main()
{
    int n,m,mod;
    scanf ("%d%d%d",&n,&m,&mod);
    scanf ("%s",s+1);
    get_fail(m,s);
    for (int i=0; i<m; i++)
        for (char ch='0'; ch<='9'; ch++){
            int j=i;
            while (j && s[j+1]!=ch) j=nx[j];
            if (s[j+1]==ch) j++;
            g[i][j]++;//从第i位跳到第j位有多少个数字
        }
    f[0][0]=1;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        for (int j=0; j<m; j++)
            for (int k=0; k<m; k++)
                f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k]*g[k][j]%mod)%mod;
                //f[i][j]表示第i位匹配到第j位的短串
    int ans=0;
    for (int i=0; i<m; i++) ans=(ans+f[n][i])%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

View Code

以下是AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int mac=1e6+10;

char s[50];
int nx[50],m;
struct Mat
{
    int a[30][30];
    Mat(){memset(a,0,sizeof a);}
}g,f;

void get_fail(int n,char *s)
{
    int j=0;
    for (int i=2; i<n; i++){
        while (j && s[j+1]!=s[i]) j=nx[j];
        if (s[j+1]==s[i]) j++;
        nx[i]=j;
    }
}

Mat multi(Mat a,Mat b,int mod)
{
    Mat ans;
    for (int i=0; i<m; i++)
        for (int j=0; j<m; j++)
            for (int k=0; k<m; k++){
                ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
            }
    return ans;
}

Mat qick(Mat g,int n,int mod)
{
    Mat ans;
    for (int i=0; i<=m; i++) ans.a[i][i]=1;
    while (n){
        if (n&1) ans=multi(ans,g,mod);
        g=multi(g,g,mod);
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n,mod;
    scanf ("%d%d%d",&n,&m,&mod);
    scanf ("%s",s+1);
    get_fail(m,s);
    for (int i=0; i<m; i++)
        for (char ch='0'; ch<='9'; ch++){
            int j=i;
            while (j && s[j+1]!=ch) j=nx[j];
            if (s[j+1]==ch) j++;
            g.a[i][j]++;
        }
    Mat ans=qick(g,n,mod);
    int sum=0;
    f.a[0][0]=1;
    f=multi(f,ans,mod);
    for (int i=0; i<m; i++)
        sum=(sum+f.a[0][i])%mod;
    printf("%d\n", sum);
    return 0;
}