BZOJ 1009: [HNOI2008]GT考试（KMP+DP+矩阵快速幂）

Description

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2…Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2…Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2…Xn中没有恰好一段等于A1A2…Am. A1和X1可以为
0

Input

第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

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题解：
Orz，这道题也太神了…其实看了一眼就知道是DP了，奈何数据范围太大了，就没往递推想了…- -!

设dp[i][j]表示前i个字符匹配了前j个不吉利数字的方案数，也就是 $[i-j+1, i]$都是不吉利的数字，那么答案就是 $\sum_{i=0}^{m-1}dp[n][i]$

考虑怎么转移，由于前i个字符匹配了前j个不吉利数字，那么设当前字符集为S，不吉利数字集为T，那么 $S[i-j+1]$ ~ $S[i]$与 $T[1]$ ~ $T[j]$是完全相同的，然后我们利用KMP得到的next数组快速求到当前位可以匹配到T的第几位，然后转移： $dp[i][j] = \sum_{k=0}^{m-1}dp[i-1][k]*a[k][j]$
其中a[i][j]表示从第i位转移到第j位可能的方案数

考虑到n的大小，而且dp方程的转移又类似矩阵乘法，于是利用矩阵快速幂求出答案即可

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AC代码：

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/rope>
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define mp(a,mat) make_pair(a,mat)
const int MAXN = 25;
const int MOD = 1e9+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
char s[MAXN];
int ans[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN],mat[MAXN][MAXN],nxt[MAXN];
int n,m,mod,res;
inline void KMP(){
    for(int i=2,j=0;i<=m;i++){
        while(j && s[i]!=s[j+1]) j=nxt[j];
        if(s[i]==s[j+1]) j++;
        nxt[i]=j;
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        for(int j=0;j<=9;j++){
            int tmp=i;
            while(tmp && s[tmp+1]-'0'!=j) tmp=nxt[tmp];
            if(s[tmp+1]-'0'==j) tmp++;
            a[i][tmp]++;
        }
    }
}
inline void mul(int res[MAXN][MAXN],int opt){
    memset(mat,0,sizeof(mat));
    for(int i=0;i<opt;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            for(int k=0;k<m;k++)
                mat[i][j]=(mat[i][j]+res[i][k]*a[k][j])%mod;
    if(opt==1) memcpy(ans,mat,sizeof(mat));
    else memcpy(a,mat,sizeof(mat));
}
inline void qmi(){
    ans[0][0]=1;
    while(n){
        if(n&1) mul(ans,1LL);
        n>>=1;
        mul(a,m);
    }
    for(int i=0;i<m;i++) res=(res+ans[0][i])%mod;
    cout<<res<<'\n';
}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\in.txt","r",stdin);
#endif // ONLINE_JUDGE
    cin>>n>>m>>mod>>(s+1);
    KMP(); qmi();
    return 0;
}