概率论——独立事件

独立事件

1 独立事件

1.1 两个独立的事件

  在条件概率中，在已知事件 $F$发生的条件下事件 $E$发生的概率 $P(E|F)$的计算方法为 $P(E|F)=P(EF)/P(F)$，我们对这个公式的理解在之前已经提到过了，即事件 $F$发生后，对事件 $E$的发生机会产生了影响。我们从样本空间的角度来看这个问题， $F$发生后样本空间缩小到了 $F$包含的结果中，而 $E$中的结果在 $F$中所占的比例和之前不同了。假设样本空间 $S$为：
$S = \{r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6\}$
现在假设事件 $E$为：
$E=\{r_1,r_2\}$
假设事件 $F$为：
$F=\{r_2,r_4\}$
从样本空间的角度来看，概率 $P(E|F)=\cfrac{1}{2}$， $P(E)=\cfrac{1}{3}$，这是因为， $E$中的结果在整个样本空间占比为 $\cfrac{1}{3}$，而在 $F$中的占比为 $\cfrac{1}{2}$。由此确实可以看出 $F$的发生对 $E$的发生机会产生了影响。现在假设 $F$为：
$F=\{r_2,r_3,r_4\}$
$E$不变，那么 $P(E|F)=\cfrac{1}{3}$， $P(E)=\cfrac{1}{3}$，我们会发现 $P(E|F)=P(E)$，因为 $F$的发生并不影响 $E$的发生机会，这时候我们就称 $E$和 $F$就是独立的。
  定义：对于两个事件 $E$和 $F$，若 $P(EF)=P(E)P(F)$则称它们是独立的。若两个事件 $E$和 $F$不独立，则称它们是相依的，或互相不独立。
  根据独立事件的定义，会得到一个有用的命题：如果 $E$和 $F$独立，那么 $E$和 $F^c$也独立。（ $E=EF\bigcup EF^c$）

1.2 三个及多个独立的事件

  定义：3个事件 $E$， $F$， $G$如果满足：
$P(EFG)=P(E)P(F)P(E)\\ P(EF)=P(E)P(F)\\ P(EG)=P(E)P(G)\\ P(FG)=P(F)P(G)$
则称， $E$， $F$和 $G$是独立的。将独立性的定义推广到多个事件则对于事件 $E_1,E_2,\cdots,E_n$，若对这些事件的任意子集 $E_{1'},E_{2'},\cdots,E_{r'}$都满足:
$P(E_{1'}E_{2'}\cdots E_{r'})=P(E_{1'})P(E_{2'})\cdots P(E_{r'})$
则称这些事件是独立的。最后，对于无限个事件的独立性，如果无限个事件的任意有限个子集都是独立的，则称这无限个事件是独立的。
  有时，所考虑的概率试验由一系列子实验组成，例如连续抛掷一枚硬币这个试验，就可以把每掷一次看作一个子试验。在许多场合下，假定任一组子试验的结果不影响其他子试验的结果是合理的。如果真是这样，我们称这些字试验是独立的。更确切地说，如果任意的事件序列 $E_1,E_2,\cdots, E_n,\cdots$是独立的，则称这一系列子试验是独立的，这里，事件 $E_i$完全由第 $i$词子试验的结果所决定。
  如果各个子试验彼此相同，即各子试验具有相同的（子）样本空间及相同的事件概率函数，那么就称这些试验为重复试验。
  另外，如果 $E$和 $F$是一次试验中的两个互不相容事件。那么在连续试验时，事件 $E$在事件 $F$之前发生的概率为：
$\cfrac{P(E)}{P(E)+P(F)}$

2 独立与不相容

  独立事件与互不相容事件的区别是很大的，如果没有理解概率论公理，样本空间，事件等这些基本概念，有时会将这两个事情搞混，但是如果顺着这些基本概念来看，两者根本没有相似的地方。独立是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生机会，而不相容是指事件不可能同时发生（回忆不相容的定义）。

参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross