PAT A1010-Radix（二分法）

PAT A1010-Radix（二分法）

题干

Given a pair of positive integers, for example, 6 and 110, can this equation 6 = 110 be true? The answer is yes, if 6 is a decimal number and 110 is a binary number.

Now for any pair of positive integers N1 and N2, your task is to find the radix of one number while that of the other is given.

Input Specification:

Each input file contains one test case. Each case occupies a line which contains 4 positive integers:

N1 N2 tag radix

Here N1 and N2 each has no more than 10 digits. A digit is less than its radix and is chosen from the set { 0-9, a-z } where 0-9 represent the decimal numbers 0-9, and a-z represent the decimal numbers 10-35. The last number radix is the radix of N1 if tag is 1, or of N2 if tag is 2.

Output Specification:

For each test case, print in one line the radix of the other number so that the equation N1 = N2 is true. If the equation is impossible, print Impossible. If the solution is not unique, output the smallest possible radix.

Sample Input 1:

6 110 1 10

Sample Output 1:

2

Sample Input 2:

1 ab 1 2

Sample Output 2:

Impossible

大致就是给4个数第一个数是N1，第二个数是N2，第三个数tag指明前面N1，N2其中一个数，最后的radix是基数，表示tag指明的数的基数是多少。

有了以上数据，就需要找到一个最小的基，使得N1=N2成立。

以上面的例子来说，N1 = 6，N2 = 110，tag = 1，radix = 10，到这里说明N1是以10为基的数，也就是一个十进制数，所以经过计算发现在N2为2进制数的时候N1与N2的值相同。所以输出为2。

解题思路

本题要涉及到比较，而此处的N1与N2可能会涉及到不同的进制数，所以我们把N1与N2都转化为十进制数来进行比较。N1很容易就转换成十进制数了，对于N2我们需要遍历多个基数radix，计算对应基数下，N2的十进制数值，再与N1比较，如果相等，那么就可能是我们要找的radix。

然后，由于radix需要多次遍历得出，所以这里使用二分法。那么首先得确定边界值，下边界left很容易确定，根据题干“A digit is less than its radix and is chosen from the set”给出的信息只需要找到N2中值最大的digit——max，再就可以求到left = max + 1，对于上边界right，有两种办法：1、left累乘2，可以知道在很少的循环次数后可以到一个非常大的数。在前一个数作为基数计算出来N2的十进制值小于N1，而当前这个数作为基数计算出的N2的十进制值大于N2时，可以知道，上界找到了，选择当前这个数作为right即可。2、还有一种办法是直接以N1计算出来的十进制值加一作为上界right。这样做的依据是：right决定了基数的上界，而基数-1是每一位digit的上界，这样取正好是个临界，如果设定的right小于这个值，那么当N2只有一位的时候，尽管这一位的值已经是可以等于N1十进制计算结果的，但是被上界所限制，不会得出正确的答案。如果N2有多位，那么这个值在非末位处的非零值，可以使得在right处取radix时得到的十进制结果必然是大于N1的，这样做保证了如果存在正确的radix必然包含在我们设定的区间之内。

基本思路有了，然后，里面非常重要的点就是，整型变量要选大一点，因为运算的数据非常大，其中测试点10，多次提交都无法通过，最后是修改了long long为 unsigned long long。

代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>

using namespace std;
// 把字符串转化为十进制数
unsigned long long int stod(char snum){
    if(snum <= '9' && snum >= '0') return snum - '0';
    return snum - 'a' + 10;
}
// 计算数字N的十进制数值
unsigned long long int compute(int len, char *N, unsigned long long int radix){
    unsigned long long int sum = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++){
        sum = sum * radix + stod(N[i]);
    }
    return sum;
}

int main() {
    char N[2][11];
    int tag, len[2];
    unsigned long long int right, left = 0, mid, radix, sum, osum = 0, theother;

    // 读取数据
    scanf("%s %s %d %lld",N[0], N[1], &tag, &radix);
    len[0] = (int)strlen(N[0]);
    len[1] = (int)strlen(N[1]);
    
  	//N1-0；N2-1于是当tag=1->N1，另一个就是theother = 2-1 =1->N2
    theother = 2-tag;
    tag = tag - 1;

    sum = compute(len[tag], N[tag], radix);// 计算tag指定的目标字符串代表的数的十进制值
    for(int i = 0; i < len[theother]; i++){// 找到另一个字符串的最大值
        if(left < stod(N[theother][i])) left = stod(N[theother][i]);
    }
  	// 边界值确定
    left += 1;
    right = sum + 1;
    
    while (left <= right){
        mid = (left + right) / 2;
        osum = compute(len[theother], N[theother], mid);
        if(osum > sum){
            right = mid - 1;
        }
        else if(osum < sum){
            left = mid + 1;
        }
        else if(osum == sum){
            printf("%lld", mid);
            return 0;
        }
    }
    printf("Impossible\n");
    
    return 0;
}