【动态规划】42题-连续子数组的最大和

1 题目描述

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。
示例1：

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

1 <= arr.length <= 10^5
-100 <= arr[i] <= 100

2 解题思路

动态规划解析：

• 状态定义：设动态规划列表dp，dp[i]代表以元素nums[i]为结尾的连续子数组最大和。
  • 为何定义最大和dp[i]中必须包含元素nums[i]：保证dp[i]递推到dp[i+1]的正确性；如果不包含nums[i]，递推时则不满足题目的连续子数组要求。
• 转移方程：若$dp[i-1]\le 0$，说明dp[i-1]对dp[i]产生负贡献，即dp[i-1]+nums[i]还不如nums[i]本身大。
  • 当dp[i-1] > 0时：执行dp[i]=dp[i-1]+nums[i]；
  • 当$dp[i-1]\le 0$时：执行dp[i]=nums[i]；
• 初始状态：dp[0]=nums[0]，即以nums[0]结尾的连续子数组最大和为nums[0]。
• 返回值：返回dp列表中的最大值，代表全局最大值。

class Solution {
    
    
    public int maxSubArray(int[] nums) {
    
    
        int res = nums[0];
        for (int i = 1;i < nums.length;i++) {
    
    
            nums[i] += Math.max(nums[i - 1],0);
            res = Math.max(res,nums[i]);
        }
        return res;
    }
}

空间复杂度降低：

• 由于dp[i]只与dp[i−1]和nums[i]有关系，因此可以将原数组nums用作dp列表，即直接在nums上修改即可。
• 由于省去dp列表使用的额外空间，因此空间复杂度从O(N)降至O(1)。

复杂度分析：

• 时间复杂度O(N)：线性遍历数组nums即可获得结果，使用O(N)时间。
• 空间复杂度O(1)：使用常数大小的额外空间。