动态规划-030-连续子数组的最大和

题目描述

HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

分析

利用动态规划思想解决此问题，关键问题在于状态转移公式的确定：

如果用函数 $~f(i)~$表示以第 $~i~$个数字结尾的子数组的最大和，那我们这要求出 $\max(f(i)),~~i=1,2,...,n$ 即可。

那么状态转移方程为：
$f(i)=\left\{\begin{array}{ll}{pData[i] } & {i=0~~or~~f(i-1) \leq 0} \\ {f(i-1)+ pData[i] } & {i \neq 0 ~~and~~ f(i-1)>0}\end{array}\right.$

或者写成：
$f(i) = \max(pDate[i], pData[p]+f(i-1))$

从从动态规划的状态转移方程来看，本来需要维护一张二维表记录每个阶段的最大和，再取最大值即为所求问题的解。
但是 $f(i)$ 只与 $f(i-1)$状态有关，那么用一个临时变量记录 $f(i-1)$，另一个变量记录最大值，就可将空间复杂度降为常数级。

迭代本身的时间复杂度为线性O(n)。

代码

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        res = len(array) and max(array)
        maxsum = 0
        for i in array:
            maxsum = max(maxsum+i, i)
            res = max(res, maxsum)
        return res