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特别声明
本文翻译的是由Steve Marschner及Peter Shirley主要参与编写的的第四版《计算机图形学基础》[英]。
版权归原作者所有。
正文
5 线性代数
也许图形程序最通用的工具是改变或变换点和向量的矩阵。在下一章中，我们将看到如何将向量表示为具有单列的矩阵，以及如何通过与方阵相乘以不同的基来表示向量。我们还将描述如何使用这种乘法来完成向量的更改，例如缩放、旋转和平移。在本章中，我们从几何的角度回顾了基本的线性代数，重点关注在二维和三维情况下运行良好的直觉和算法。
熟悉线性代数的读者可以跳过本章。然而，即使对这些读者来说，也可能有一些启发性的花絮，例如行列式的发展以及奇异值和特征值分解的讨论。
5.1 行列式
我们通常认为行列式是在线性方程的解决方案中产生的。
但是，就我们的目的而言，我们会认为行列式是增加向量的另一种方式。对于2D矢量A和B，行列式| ab |是由A和B形成的平行四边形区域（图5.1）。这是一个签名的区域，如果A和B右手是右手，则符号为正。
这意味着| ab |= - | ba |。在2D中，我们可以将“右撇子”解释为意味着我们逆时针旋转第一个向量，以将最小角度关闭到第二个矢量。在3D中，必须一次使用三个向量采取决定因素。对于三个3D向量，A，B和C，决定符| ABC |是由三个矢量形成的平行填充（3D平行四边形；一个剪切的3D框）的签名体积（图5.2）。要计算2D决定因素，我们首先需要建立其一些属性。我们注意到，平行四边形的一侧缩放其面积的比例相同（图5.3）：
此外，我们注意到“剪切”平行四边形不会改变其面积（图 5.4）：
最后，我们看到行列式具有以下性质：
因为如图 5.5 所示，我们可以“滑动”两个平行四边形之间的边以形成一个平行四边形，而不会改变两个原始平行四边形中任何一个的面积。
现在让我们假设 a 和 b 的笛卡尔表示：
这个简化使用了 |vv| = 0 对于任何向量 v，因为平行四边形都将与 v 共线，因此没有面积。
在三个维度中，三个 3D 向量 a、b 和 c 的行列式表示为 |abc|。对于向量的笛卡尔表示，平行六面体和平行四边形有类似的规则，我们可以像二维一样进行类似的扩展：
正如你所看到的，随着维度的增加，以这种方式计算行列式变得越来越难看。我们将在 5.3 节讨论计算行列式的不易出错的方法。
例子： 当将一个向量的表达式计算为其他两个向量的线性组合时，行列式自然会出现——例如，如果我们希望将向量 c 表示为向量 a 和 b 的组合：
从图 5.6 可以看出
因为这些平行四边形只是彼此的剪切版本。求解 bc 收益率
一个类似的论点产生
这是克莱默规则的二维版本，我们将在第 5.3.2 节中重新讨论。
5.2 矩阵
矩阵是遵循某些算术规则的数字元素的数组。具有两个行和三列的矩阵的示例
矩阵经常用于计算机图形，用于各种目的，包括表示空间变换。在我们的讨论中，我们假设矩阵的元素都是实数。本章介绍了矩阵算术的力学和“正方形”矩阵的决定因素，即具有与列相同数量的行数的矩阵。
5.2.1 矩阵算术
矩阵乘以常数得到一个矩阵，其中每个元素都乘以该常数，例如，
矩阵还逐个元素添加，例如，
对于矩阵乘法，我们将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列“相乘”：
所以得到的产品的元素 pij 是
只有当左矩阵的列数与右矩阵的行数相同时，才可能取两个矩阵的乘积。例如，
在大多数情况下，矩阵乘法是不可交换的：
此外，如果 AB = AC，则不一定遵循 B = C。幸运的是，矩阵乘法是关联和分配的：
5.2.2 矩阵运算
我们想要一个实数倒数的矩阵模拟。我们知道实数 x 的倒数是 1/x，x 和它的倒数的乘积是 1。
我们需要一个可以认为是“矩阵”的矩阵 I。这仅适用于方阵，称为单位矩阵；它由对角线上的一个和其他地方的零组成。例如，四乘四单位矩阵是
矩阵A的逆矩阵A -1是确保AA -1 = I的矩阵。例如，
请注意，A -1的倒数为A。因此AA -1 = A -1 A =I。两个矩阵的产物的倒数是倒置的乘积，但随着顺序逆转：
我们将返回本章稍后的计算逆问题。
矩阵A处的转置AT具有相同的数字，但行用列切换。如果我们标记为a'ij的条目AT，则
例如：
两个矩阵乘积的转置遵循类似于公式 (5.4) 的规则：
方阵的行列式只是矩阵列的行列式，被视为一组向量。行列式与刚刚讨论的矩阵运算有几个很好的关系，我们在这里列出以供参考：
5.2.3 矩阵形式的向量运算
在图形中，我们使用方形矩阵来转换表示为矩阵的向量。 例如，如果您有一个2D矢量a =（xa，ya），并希望将其旋转90度，以形成向量a =（-ya，xa），则可以使用2×2的乘积矩阵和2×1矩阵，称为列矢量。矩阵形式的操作是
我们可以通过使用该矩阵的转置并在左侧乘以（“预乘”）与行向量来获得相同的结果：
如今，使用列向量的后乘法是相当标准的，但在许多较旧的书籍和系统中，您会遇到行向量和预乘法。唯一的区别是必须将变换矩阵替换为其转置。
我们也可以使用矩阵形式对向量的操作进行编码。如果我们把点积的结果看成一个 1×1 的矩阵，可以写成
例如，如果我们采用两个 3D 向量，我们得到
相关向量积是两个向量之间的外积，可以表示为左边为列向量，右边为行向量的矩阵相乘：abT。结果是一个矩阵，由 a 的条目与 b 的条目的所有对的乘积组成。对于 3D 向量，我们有
从向量运算的角度考虑矩阵乘法通常很有用。
为了说明使用三维情况，我们可以将 3 × 3 矩阵视为三个 3D 向量的集合，有两种方式：它由三个列向量并排组成，或者由三行向量堆叠起来。例如，矩阵向量乘法 y = Ax 的结果可以解释为一个向量，其条目是 x 与 A 的行的点积。命名这些行向量 ri，我们有
或者，我们可以将相同的乘积视为 A 的三列 ci 的总和，由 x 的条目加权：
使用相同的想法，可以将矩阵矩阵乘积AB理解为包含所有a行的成对点产物的数组，其中所有B列（cf.（5.2））;作为矩阵A的产品的集合，其所有B的圆柱向量从左到右排列；作为与矩阵B的所有行矢量的产品集合，堆叠在上到底部；或作为A与B的所有行的所有列的成对外部产品的总和。
如有错误，麻烦联系我共同指出，加以修正~