旋转矩阵

点、向量、坐标系

点：空间中的基本元素，没有长度，没有体积。
向量：两个点连接起来就构成了向量。
坐标系：由三个正交的坐标轴组成。
任意一个向量可由一组基和基下坐标表示（矩阵论里面的内容）
内积：两个向量a,b => $a\cdot b=a^{T}b=\left | a \right |\left | b \right |\cos < a,b>$ 反映了两个向量之间的投影关系

外积： $a\times b=\begin{bmatrix} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3}&0 & -a_{1}\\ -a_{2}& a_{1} & 0 \end{bmatrix}=a^{\Lambda }b$ 描述两个向量张成的四边形的有向面积。

注：^为反对称符号 =>a x b 为矩阵和向量之间的运算 =>线性运算

反对称： $A^{T}=-A$

坐标系之间的欧氏变换

世界坐标系： $\large x_{w}$ , $\large y_{w}$ , $\large z_{w}$

相机坐标系： $\large x_{c}$ , $\large y_{c}$ , $\large z_{c}$

相机坐标系=>世界坐标系（相差一个欧式变换）(欧式变换由旋转和平移组成)

推导旋转矩阵：

向量在两个坐标系下的坐标为： $\large a=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{bmatrix}$ , $a^{'}=\begin{bmatrix} a^{'}_{1}\\ a^{'}_{2}\\ a^{'}_{3} \end{bmatrix}$ 两个坐标系为： $e=\begin{bmatrix} e_{1}\\ e_{2}\\ e_{3} \end{bmatrix}$ , $e^{'}=\begin{bmatrix} e^{'}_{1}\\ e^{'}_{2}\\ e^{'}_{3} \end{bmatrix}$

=>>>>> $\begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{'}_{1} & e^{'}_{2} & e^{'}_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a^{'}_{1}\\ a^{'}_{2}\\ a^{'}_{3} \end{bmatrix}$ =>>>>> $\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{bmatrix}=Ra^{'}$

由此可以推出： R（旋转矩阵）=两组基（坐标系）的内积。

旋转矩阵R：行列式为1的正交矩阵

$So(n)=\left \{ R\in R^{n\times n}|RR^{T}=I,det(R)=1 \right \}$ n维特殊正交群。

SO(3) 就是三维空间的旋转。

由此可以得到世界坐标系和相机坐标系之间的变换为： $a^{'}=Ra+t$

因为上式非线性变换，因此引入齐次坐标和变换矩阵T

$\begin{bmatrix} a^{'}\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ 1 \end{bmatrix}=T\begin{bmatrix} a\\ 1 \end{bmatrix}$ 将非线性变换，变成线性变换。

特殊欧式群： $SE(3)=\left \{T=\begin{bmatrix} R & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in R^{4\times 4}|R\in SO(3),t\in R^{3} \right \}$

后面的旋转向量、四元数、欧拉角暂时没有用到，暂不补充

视觉SLAM十四讲笔记二（第三讲）

旋转矩阵

点、向量、坐标系

坐标系之间的欧氏变换

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