数字信号处理第六次试验：数字信号处理在双音多频拨号系统中的应用
前言
为了帮助同学们完成痛苦的实验课程设计，本作者将其作出的实验结果及代码贴至CSDN中，供同学们学习参考。如有不足或描述不完善之处，敬请各位指出，欢迎各位的斧正！
一、实验目的
通过对双音多频拨号系统的分析与仿真实验，了解双音多频信号的产生、检测，包括对双音多频信号进行DFT时的参数选择等，使学生初步了解数字信号处理在实际中的使用方法和重要性。
二、实验原理和方法
1.关于双音多频拨号系统
双音多频（Dual Tone Multi Frequency, DTMF）信号是音频电话中的拨号信号，由美国AT&T贝尔公司实验室研制，并用于电话网络中。这种信号制式具有很高的拨号速度，且容易自动监测识别，很快就代替了原有的用脉冲计数方式的拨号制式。这种双音多频信号制式不仅用在电话网络中，还可以用于传输十进制数据的其它通信系统中，也可用于电子邮件和银行系统中。在这些系统中，用户可以用电话发送DTMF信号，选择语音菜单进行操作。
DTMF信号系统是一个典型的小型信号处理系统。它以数字方法产生模拟信号并进行传输，其中还用到了D/A变换器；在接收端用A/D变换器将其转换成数字信号，并进行数字信号处理与识别。为了系统地检测速度并降低成本，还开发了一种特殊的DFT算法，成为戈泽尔（Goertzel）算法。这种算法既可以用硬件（专用芯片）实现，也可以用软件实现。下面首先介绍双音多频信号的产生方法和检测方法，包括戈泽尔算法，最后进行模拟实验。下面先介绍电话中的DTMF信号的组成。
在电话中，数字0~9中的每一个都用两个不同的单音频传输，所用的8个频率分成高频带和低频带两组，低频带有四个频率：679Hz、770Hz、852Hz和941Hz；高频带也有四个频率：1209Hz、1336Hz、1477Hz和1633Hz。每一个数字均由高、低频带中的各一个频率构成，例如1用697Hz和1209Hz两个频率构成，信号用 s i n ( 2 π f 1 t ) + s i n ( 2 π f 2 t ) sin(2\pi f_1 t)+sin(2\pi f_2 t) sin(2πf1t)+sin(2πf2t)表示，其中 f 1 = 679 H z f_1 =679Hz f1=679Hz， f 2 = 1209 H z f_2 =1209Hz f2=1209Hz。这样8个频率形成16种不同的双频信号。具体号码以及符号对应的频率如表8.6.1所示。表中最后一列在电话中暂时未用
| 行\列 | 1209Hz | 1336Hz | 1477Hz | 633Hz |
|---|---|---|---|---|
| 697Hz | 1 | 2 | 3 | A |
| 770Hz | 4 | 5 | 6 | B |
| 852Hz | 7 | 8 | 9 | C |
| 942Hz | * | 0 | # | D |
DTMF信号在电话中有两种作用，一个是拨号信号去控制交换机接通被叫的用户电话机，另一个作用是控制电话机的各种动作，如播放留言、语音信箱等。
2.电话中的双音多频（DTMF）信号的产生与检测
（1）双音多频信号的产生。假设时间连续的DTMF信号用 x ( t ) = s i n ( 2 π f 1 t ) + s i n ( 2 π f 2 t ) x(t)=sin(2\pi f_1 t)+sin(2\pi f_2 t) x(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)表示，式中 f 1 f_1 f1和 f 2 f_2 f2是按照表8.6.1选择的两个频率， f 1 f_1 f1代表低频带中的一个频率， f 2 f_2 f2代表高频带中的一个频率。显然，采用数字方法产生DTMF信号，优点是方便而且体积小。下面介绍采用数字方法产生DTM信号。规定用8kHz对DTMF信号进行采样，采样后得到时域离散信号为
x ( n ) = s i n 2 π f 1 n 8000 + s i n 2 π f 2 n 8000 x(n)=sin\frac{2\pi f_1 n}{8000}+sin\frac{2\pi f_2 n}{8000} x(n)=sin80002πf1n+sin80002πf2n
形成上面序列的方法有两种，即计算法和查表法。用计算法求正弦波的序列值容易，但实际中要占用一些计算时间，影响运行速度。查表法是预先将正弦波的各序列值计算出来，寄存在存储器中，运行时只要按顺序和一定的速度取出便可，这种方法要占用一定的存储空间，但是速度快。
因为采样频率是8000Hz，因此要求每125ms输出一个样本，得到的序列再送到D/A变换器和平滑滤波器，输出便是连续时间的DTMF信号。DTMF信号通过电话线路送到交换机。
（2）双音多频信号的检测。在接收端，要对收到的双音多频信号进行检测，检测两个正弦波的频率是多少，以判断所对应的十进制数字或者符号。显然，这里仍然要用数字方法进行检测，因此要将收到的时间连续DTMF信号经过A/D变换，变成数字信号进行检测。检测的方法有两种，一种是用一组滤波器提取所关心的频率，根据有输出信号的两个滤波器判断相应的数字或符号。另一种是用DFT（FFT）对双音多频信号进行频谱分析，由信号的幅度谱，判断信号的两个频率，最后确定相应的数字或符号。当检测的音频数目较少时，用滤波器组实现更合适。FFT是DFT的快速算法，但当DFT的变换区间较小时，FFT快速算法的效果并不明显，而且还要占用很多内存，因此不如直接用DFT合适。下面介绍Goertzel算法，这种算法的实质是直接计算DFT的一种线性滤波方法。这里略去Goertzel算法的介绍（请参考文献[19]），可以直接调用MATLAB信号处理工具箱中戈泽尔算法的函数Goertzel，计算N点DFT的几个感兴趣的频点的值。
3.检测DTMF信号的DFT参数选择
用DFT检测模拟DTMF信号所含有的两个音频频率，是一个用DFT对模拟信号进行频谱分析的问题。根据第3章用DFT对模拟信号进行谱分析的理论，确定三个参数：①采样频率 F s F_s Fs；② DFT的变换点数N；③需要对信号的观察时间的长度 T p T_p Tp。这三个参数不能随意选取，要根据对信号频谱分析的要求进行确定。这里对信号频谱分析也有三个要求：①频谱分析的分辨率；②频谱分析的频率范围；③检测频率的准确性。
（1）频谱分析的分辨率。观察要检测的8个频率，相邻间隔最小的是第一和第二个频率，间隔是73Hz，要求DFT最少能够分辨相隔73Hz的两个频率，即要求 F m i n = 73 H z F_{min}=73Hz Fmin=73Hz。DFT的分辨率与对信号的观察时间 T p T_p Tp有关， T p m i n = 1 / F = 1 / 73 = 13.7 m s T_{pmin}=1/F=1/73=13.7 ms Tpmin=1/F=1/73=13.7ms。考虑到可靠性，留有富裕量，要求按键的时间大于40 ms。
（2）频谱分析的频率范围。要检测的信号频率范围是697 ~ 1633Hz，但考虑到存在语音干扰，除了检测这8个频率外，还要检测它们的二次倍频的幅度大小，波形正常且干扰小的正弦波的二次倍频是很小的，如果发现二次谐波很大，则不能确定这是DTMF信号。这样频谱分析的频率范围为697 ~ 3266Hz。按照采样定理，最高频率不能超过折叠频率，即0.5 F s ≥ 3622 H z F_s\geq3622 Hz Fs≥3622Hz，由此要求最小的采样频率应为7.24 kHz。因为数字电话总系统已经规定 F s = 8 k H z F_s=8 kHz Fs=8kHz，因此对频谱分析范围的要求是一定满足的。按照 T p m i n = 13.7 m s T_{pmin}=13.7ms Tpmin=13.7ms， F s = 8 k H z F_s=8kHz Fs=8kHz，算出对信号最少的采样点数为 N m i n = T p m i n ⋅ F s ≈ 110 N_{min}=T_{pmin}·F_s\approx110 Nmin=Tpmin⋅Fs≈110。
（3）检测频率的准确性。这是一个用DFT检测正弦波频率是否准确的问题。序列的.N点DFT是对序列频谱函数在0~ 2 π 2\pi 2π区间的N点等间隔采样。如果是一个周期序列，截取周期序列的整数倍周期，进行DFT，其采样点刚好在周期信号的频率上，DFT的幅度最大处就是信号的准确频率。分析这些DTMF信号，发现不可能经过采样而得到周期序列，因此存在检测频率的准确性问题。
DFT的频率采样点频率为 ω k = 2 π k （ k = 0 ， 1 ， 2 ， … ， N − 1 ） ω_k=2\pi k（k=0，1，2，…，N-1） ωk=2πk（k=0，1，2，…，N−1），相应的模拟域采样点频率为 f k = F s k / N （ k = 0 ， 1 ， 2 ， … ， N − 1 ） f_k=F_sk/N（k=0，1，2，…，N-1） fk=Fsk/N（k=0，1，2，…，N−1），希望选择一个合适的N，使用该公式算出的 f k f_k fk能接近要检测的频率，或者用8个频率中的任一个频率 f k ′ f_k' fk′代入公式 f k ′ = F s k / N f_k'=F_sk/N fk′=Fsk/N中时，得到的k值最接近整数值，这样虽然用幅度最大点检测的频率有误差，但可以准确判断所对应的DTMF频率，即可以准确判断所对应的数字或符号。经过分析研究，认为N=205是最好的。按照 F s = 8 k H z F_s=8 kHz Fs=8kHz，N=205，算出的8个频率及其二次谐波对应的k值，以及k取整数时的频率误差见表8.6.2。
| 8个基频/Hz | 最近的整数k值 | DFT的k值 | 绝对误差 | 二次谐波/Hz | 对应的k值 | 最近的整数k值 | 绝对误差 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 697 | 17.861 | 18 | 0.139 | 1394 | 35.024 | 35 | 0.021 |
| 770 | 19.531 | 20 | 0.269 | 1540 | 38.692 | 39 | 0.308 |
| 852 | 21.833 | 22 | 0.167 | 1704 | 42.813 | 43 | 0.187 |
| 941 | 24.113 | 24 | 0.113 | 1882 | 47.285 | 47 | 0.285 |
| 1209 | 30.981 | 31 | 0.019 | 2418 | 60.752 | 61 | 0.248 |
| 1336 | 34.235 | 34 | 0.235 | 2672 | 67.134 | 67 | 0.134 |
| 1477 | 37.848 | 38 | 0.152 | 2954 | 74.219 | 74 | 0.219 |
| 1633 | 41.846 | 42 | 0.154 | 3266 | 82.058 | 82 | 0.058 |
通过以上分析，确定 F s = 8 k H z F_s=8 kHz Fs=8kHz，N=205， T p ≥ 40 m s T_p\geq40 ms Tp≥40ms。
4.DTMF信号的产生与识别仿真实验
下面先介绍MATLAB工具箱函数goertzel，然后介绍DTMF信号的产生与识别仿实验程序。Goerztel函数的调用格式为
X g k = g o e r t z e l ( x n , K ) Xgk=goertzel(xn,K) Xgk=goertzel(xn,K)
xn是被变换的时域序列，用于DTMF信号检测时，xn就是DTMF信号的205个采样值。K是要求计算的DFT[xn]的频点序号向量，用N表示xn的长度，则要求 1 ≤ ∣ K ∣ ≤ N 1\leq |K| \leq N 1≤∣K∣≤N，由表8.6.2可知，如果只计算DTMF信号8个基频时，
K = [ 18 , 20 , 22 , 24 , 31 , 34 , 38 , 42 ] K=[18,20,22,24,31,34,38,42] K=[18,20,22,24,31,34,38,42]
如果同时计算个基频及其二次谐波时，
K = [ 18 , 20 , 22 , 24 , 31 , 34 , 35 , 38 , 39 , 42 , 43 , 47 , 61 , 67 , 74 , 82 ] K=[18,20,22,24,31,34,35,38,39,42,43,47,61,67,74,82] K=[18,20,22,24,31,34,35,38,39,42,43,47,61,67,74,82]
Xgk是变换结果向量，其中存放的是由K指定的频率点的DFT[x(n)]的值。设X(k)=DFT[x(n)]，则
X ( K ( i ) ) = X g k ( i ) i = 1 , 2 , … , l e n g t h ( K ) X(K(i))=Xgk(i) i=1,2,…,length(K) X(K(i))=Xgk(i)i=1,2,…,length(K)
DTMF信号的产生与识别仿真实验在MATLAB环境下进行，编写仿真程序，运行程序，送入6位电话号码，程序自动产生每一位号码数字相应的DTMF信号，并送出双声音，再用DFT进行谱分析，显示每一位号码数字的DTMF信号的DFT幅度谱，按照幅度谱的最大值确定对应的频率，再按照频率确定每一位对应的号码数字，最后输出6位电话号码。
本实验程序较复杂，所以将仿真程序提供给读者，只要求读者读懂程序，直接运行程序仿真。程序名为exp6.m。程序分四段：第一段（第2 ~ 7行）设置参数，并读入6位电话号码；第二段（第9 ~ 20行）根据键入的6位电话号码产生时域离散DTMF信号，并连续发出6位号码对应的双音频声音；第三段（第22 ~ 25行）对时域离散DTMF信号进行频率检测，画出幅度谱；第四段（第26 ~ 33行）根据幅度谱的两个峰值，分别查找并确定输入的6位电话号码。根据程序中的注释很容易分析编程思想和处理算法。程序清单如下：
%实验六程序 exp6.m
%DTMF双频拨号信号的生成和检测程序
clear;clc;
tm=[1,2,3,65;4,5,6,66;7,8,9,67;42,0,35,68]; %DTMF信号代表的16个数
N=205;K=[18,20,22,24,31,34,38,42];
f1=[697,770,852,941];
f2=[1209,1336,1477,1633];
TN=input('键入6位电话号码=');
TNr=0;
for l=1:6
d=fix(TN/10^(6-l));
TN=TN-d*10^(6-l);
for p=1:4
for q=1:4
if tm(p,q)==abs(d);break,end %检测码相符的列号q
end
if tm(p,q)==abs(d);break,end %检测码相符的行号p
end
n=0:1023;
x=sin(2*pi*n*f1(p)/8000)+sin(2*pi*n*f2(q)/8000);
sound(x,8000);
pause(0.1)
%接收检测端的程序
X=goertzel(x(1:205),K+1);
val=abs(X);
subplot(3,2,l);
stem(K,val,'.');grid;xlabel('k');ylabel('|X(k)|')
axis([10 50 0 120])
limit=80;
for s=5:8
if val(s)>limit,break,end
end
for r=1:4
if val(r)>limit,break,end
end
TNr=TNr+tm(r,s-4)*10^(6-l);
end
disp('接收端检测到的号码为：')
disp(TNr)
三、实验内容
（1）运行仿真程序exp6.m，任意送入6位电话号码，打印出相应的幅度谱。观察程序运行结果，对照表8.6.1和表8.6.2，判断程序谱分析的正确性。
（2）分析该仿真程序，将产生、检测和识别6位电话号码的程序改为能产生、检测和识别8位电话号码的程序，并运行一次，打印出相应的幅度谱和8位电话号码。
四、实验报告
（1）打印6位和8位电话号码DTMF信号的幅度谱。
（2）简述DTMF信号的参数：采样频率、DFT 的变换点数以及观测时间的确定原则。
五、实验结果
六位电话号码：
%实验六程序 exp6.m
%DTMF双频拨号信号的生成和检测程序
clear;clc;
tm=[1,2,3,65;4,5,6,66;7,8,9,67;42,0,35,68]; %DTMF信号代表的16个数
N=205;K=[18,20,22,24,31,34,38,42];
f1=[697,770,852,941];
f2=[1209,1336,1477,1633];
TN=input('键入6位电话号码=');
TNr=0;
for l=1:6
d=fix(TN/10^(6-l));
TN=TN-d*10^(6-l);
for p=1:4
for q=1:4
if tm(p,q)==abs(d);break,end %检测码相符的列号q
end
if tm(p,q)==abs(d);break,end %检测码相符的行号p
end
n=0:1023;
x=sin(2*pi*n*f1(p)/8000)+sin(2*pi*n*f2(q)/8000);
sound(x,8000);
pause(0.1)
%接收检测端的程序
X=goertzel(x(1:205),K+1);
val=abs(X);
subplot(3,2,l);
stem(K,val,'.');grid;xlabel('k');ylabel('|X(k)|')
axis([10 50 0 120])
limit=80;
for s=5:8
if val(s)>limit,break,end
end
for r=1:4
if val(r)>limit,break,end
end
TNr=TNr+tm(r,s-4)*10^(6-l);
end
disp('接收端检测到的号码为：')
disp(TNr)
输入输出信息：
运行结果：
八位电话号码：
%DTMF双频拨号信号的生成和检测程序
clear;clc;
tm=[1,2,3,65;4,5,6,66;7,8,9,67;42,0,35,68]; %DTMF信号代表的16个数
N=205;K=[18,20,22,24,31,34,38,42];
f1=[697,770,852,941];
f2=[1209,1336,1477,1633];
TN=input('键入8位电话号码=');
TNr=0;
for l=1:8
d=fix(TN/10^(8-l));
TN=TN-d*10^(8-l);
for p=1:4
for q=1:4
if tm(p,q)==abs(d);break,end %检测码相符的列号q
end
if tm(p,q)==abs(d);break,end %检测码相符的行号p
end
n=0:1023;
x=sin(2*pi*n*f1(p)/8000)+sin(2*pi*n*f2(q)/8000);
sound(x,8000);
pause(0.1)
%接收检测端的程序
X=goertzel(x(1:205),K+1);
val=abs(X);
subplot(4,2,l);
stem(K,val,'.');grid;xlabel('k');ylabel('|X(k)|')
axis([10 50 0 120])
limit=80;
for s=5:8
if val(s)>limit,break,end
end
for r=1:4
if val(r)>limit,break,end
end
TNr=TNr+tm(r,s-4)*10^(8-l);
end
disp('接收端检测到的号码为：')
disp(TNr)
输入输出信息：
运行结果：
六、思考题
（2）简述DTMF信号的参数：采样频率、DFT 的变换点数以及观测时间的确定原则。
答：（1）频谱分析的分辨率。观察要检测的8个频率，相邻间隔最小的是第一和第二个频率，间隔是73Hz，要求DFT最少能够分辨相隔73Hz的两个频率，即要求 F m i n = 73 H z F_{min}=73Hz Fmin=73Hz。DFT的分辨率与对信号的观察时间 T p T_p Tp有关， T p m i n = 1 / F = 1 / 73 = 13.7 m s T_{pmin}=1/F=1/73=13.7 ms Tpmin=1/F=1/73=13.7ms。考虑到可靠性，留有富裕量，要求按键的时间大于40 ms。
（2）频谱分析的频率范围。要检测的信号频率范围是697 ~ 1633Hz，但考虑到存在语音干扰，除了检测这8个频率外，还要检测它们的二次倍频的幅度大小，波形正常且干扰小的正弦波的二次倍频是很小的，如果发现二次谐波很大，则不能确定这是DTMF信号。这样频谱分析的频率范围为697 ~ 3266Hz。按照采样定理，最高频率不能超过折叠频率，即0.5 F s ≥ 3622 H z F_s\geq3622 Hz Fs≥3622Hz，由此要求最小的采样频率应为7.24 kHz。因为数字电话总系统已经规定 F s = 8 k H z F_s=8 kHz Fs=8kHz，因此对频谱分析范围的要求是一定满足的。按照 T p m i n = 13.7 m s T_{pmin}=13.7ms Tpmin=13.7ms， F s = 8 k H z F_s=8kHz Fs=8kHz，算出对信号最少的采样点数为 N m i n = T p m i n ⋅ F s ≈ 110 N_{min}=T_{pmin}·F_s\approx110 Nmin=Tpmin⋅Fs≈110。
（3）检测频率的准确性。这是一个用DFT检测正弦波频率是否准确的问题。序列的.N点DFT是对序列频谱函数在0~ 2 π 2\pi 2π区间的N点等间隔采样。如果是一个周期序列，截取周期序列的整数倍周期，进行DFT，其采样点刚好在周期信号的频率上，DFT的幅度最大处就是信号的准确频率。分析这些DTMF信号，发现不可能经过采样而得到周期序列，因此存在检测频率的准确性问题。
DFT的频率采样点频率为 ω k = 2 π k （ k = 0 ， 1 ， 2 ， … ， N − 1 ） ω_k=2\pi k（k=0，1，2，…，N-1） ωk=2πk（k=0，1，2，…，N−1），相应的模拟域采样点频率为 f k = F s k / N （ k = 0 ， 1 ， 2 ， … ， N − 1 ） f_k=F_sk/N（k=0，1，2，…，N-1） fk=Fsk/N（k=0，1，2，…，N−1），希望选择一个合适的N，使用该公式算出的 f k f_k fk能接近要检测的频率，或者用8个频率中的任一个频率 f k ′ f_k' fk′代入公式 f k ′ = F s k / N f_k'=F_sk/N fk′=Fsk/N中时，得到的k值最接近整数值，这样虽然用幅度最大点检测的频率有误差，但可以准确判断所对应的DTMF频率，即可以准确判断所对应的数字或符号。经过分析研究，认为N=205是最好的。