数字信号处理翻转课堂笔记18
The Flipped Classroom18 of DSP
对应教材：《数字信号处理（第五版）》西安电子科技大学出版社，丁玉美、高西全著
一、要点
（1）频率采样法设计FIR线性相位滤波器的原理；
（2）线性相位条件对频率响应的约束；
（3）频率采样法设计FIR线性相位滤波器的步骤（重点）；
（4）逼近误差产生的原因及其改进措施（难点，重点）；
（5）基于MATLAB和频率采样法设计FIR线性相位滤波器。
二、问题与解答
1、简述频率采样法设计线性相位FIR滤波器的基本原理。与窗函数法相比，频率采样法具有哪些优势？
2、为什么线性相位条件会制约频率采样法设计FIR滤波器时的频率响应特性？这种制约是否会影响频率采样法所能设计的滤波器类型？
3、自定滤波器长度N、滤波器类型及其理想频率响应特性，按照线性相位条件确定滤波器在[0,2π]区间的频率特性，并在该区间进行N点频域采样，获得频域采样序列H(k)，需注意H(k)应该包含幅度和相位两个部分。然后求H(k)的IDFT，得到对应的滤波器单位响应h(n)。用MATLAB画出h(n)的频率响应（含幅频和相频）波形（连续曲线），验证其是否具有线性相位特性，并与自定的滤波器理想频率特性进行比较，对比其差异。根据频域采样的相关原理，分析差异（即逼近误差）产生的原因。
4、对上一题的频域采样点，在适当的位置加入过渡点，重新绘制幅频特性波形，与上一题的幅频特性进行比较，对比其截止频率、阻带衰减等方面的差异。根据本题和上一题的结果，讨论为什么用频率采样法设计FIR滤波器，通常需要在设计完之后验证其是否满足预期的技术指标要求。
5、基于MATLAB，用频率采样法分别设计一个低通和一个高通滤波器，技术指标自定。在过渡带加入1个或2个过渡点，调整过渡点的幅值大小，画出并比较其幅频特性波形、单位响应波形。通过反复尝试，使得滤波器阻带衰减达到最低，此时过渡点的幅度值是多少？总结频率采样法设计FIR滤波器的步骤，讨论过渡点数量和幅值对滤波器频率特性（包括过渡带宽度、阻带衰减、通带纹波、截止频率等）的影响，对比低通、高通滤波器单位响应的显著差异。（滤波器阶次N怎么确定）
6、利用FIR2函数设计上一题的FIR滤波器（可以只选低通或者高通其中一种），过渡点数量和幅值自定。分别采用3种以上不同的窗函数，画出不同窗函数所设计滤波器的幅频特性，比较其通带纹波、阻带衰减、过渡带宽度、截止频率的差异。讨论采用通过加窗改善幅频特性和通过过渡点改善幅频特性这两种方法各自的特点。
7、x=[-4, -2, 0, -4, -6, -4, -2, -4, -6, -6, -4, -4, -6, -6, -2, 6, 12, 8, 0, -16, -38, -60, -84, -90, -66, -32, -4, -2, -4, 8, 12, 12, 10, 6, 6, 6, 4, 0, 0, 0, 0, 0, -2, -4, 0, 0, 0, -2, -2, 0, 0, -2, -2, -2, -2, 0 ]，这是一个心电图信号，混进了高频噪声，需要设计一个数字低通滤波器，滤除高频噪声，但应保持心电图的波形不失真，请设计滤波器完成对该信号的滤波，比较滤波前后的波形（可参考学堂在线视频6-12，但应修改FIR滤波器设计方法，不要采用等波纹最佳逼近法）。提示：先要对信号进行频谱分析，分析其高频噪声所处的频带，以确定滤波器的截止频率。设计好滤波器之后，对信号的滤波，采用DFT来实现（用循环卷积计算线性卷积），或者直接用conv函数求卷积。如果采用filter函数，应先对x补零一定的长度再进行滤波，否则由于输出序列长度的限制（输出序列长度与x长度一致），可能无法看到滤波后输出的完整波形。
1、频率采样法基本原理
简述频率采样法设计线性相位FIR滤波器的基本原理。与窗函数法相比，频率采样法具有哪些优势？
滤波器技术指标通常在频域给出，而窗函数法从时域出发进行滤波器设计，需把频率特性转换为单位脉冲响应。当频率特性表达式较为复杂，或无闭合形式时，单位脉冲响应求取较为困难。
频率采样法直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；尤其适合于窄带滤波器，这时频率响应只有少数几个非零值，用频率采样网络架构来实现非常方便。
2、线性相位条件
为什么线性相位条件会制约频率采样法设计FIR滤波器时的频率响应特性？这种制约是否会影响频率采样法所能设计的滤波器类型？
会影响，对于高通和带阻滤波器，n只能取奇数。
3、频率采样与线性相位
自定滤波器长度N、滤波器类型及其理想频率响应特性，按照线性相位条件确定滤波器在[0,2π]区间的频率特性，并在该区间进行N点频域采样，获得频域采样序列H(k)，需注意H(k)应该包含幅度和相位两个部分。然后求H(k)的IDFT，得到对应的滤波器单位响应h(n)。用MATLAB画出h(n)的频率响应（含幅频和相频）波形（连续曲线），验证其是否具有线性相位特性，并与自定的滤波器理想频率特性进行比较，对比其差异。根据频域采样的相关原理，分析差异（即逼近误差）产生的原因。
figure(1)
Bt=pi/5;wp=pi/2;
N=27; %使N为奇数
Np=fix(wp/(2*pi/N)); %Np+1为通带[0,wp]上采样点数
Ns=N-2*Np-1; %Ns为阻带[wp,2*pi一wp]上采样点数
Hk=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)]; %N为奇数，设定理想幅度采样向量偶对称
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N; %相位采样向量0(k)=N一1)πk/,0≤k≤N一1
Hdk=Hk.*exp(j*thetak); %构造频域采样向量Hd(k)
hn=real(ifft(Hdk)); %h (n)=IDFT [H(k)]
Hw=fft (hn,1024) %计算频率响应函数：DFT[h(n)]
wk=2*pi*(0:1023)/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数计算通带最大纹波RD和阻带最小衰减Rs
Rp=max(20*log10(abs(Hgw)));
hgmin=min(real(Hgw));
Rs=20*log10(abs (hgmin));
stem(hn)
figure(2)
subplot(2,1,1)
plot (wk/pi,abs (Hgw))
hold on
plot(0:1/800:0.25+1/800,[ones(1,201),0],2-0.25-1/800:1/800:2,[0,ones(1,201)]);
hold off
subplot (2,1,2)
plot (wk/pi,angle(Hw))
4、加入过渡点的频域采样
对上一题的频域采样点，在适当的位置加入过渡点，重新绘制幅频特性波形，与上一题的幅频特性进行比较，对比其截止频率、阻带衰减等方面的差异。根据本题和上一题的结果，讨论为什么用频率采样法设计FIR滤波器，通常需要在设计完之后验证其是否满足预期的技术指标要求。
T=0.5; %输入过渡带采样值T
Bt=pi/5;wp=pi/2;
N=27;
Np=fix(wp/(2*pi/N)); %Np+1为通带[0,wp]上采样点数
Ns=N-2*Np-1; %Ns为阻带[wp,2*pi一wp]上采样点数
Hk=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)]; %N为奇数，设定理想幅度采样向量偶对称
Hk(Np+2)=T;Hk(N-Np)=T; %加一个过渡采样
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N; %相位采样向量θ(k)=(N-1)πk/N,0≤k≤N-1
Hdk=Hk.*exp(j*thetak); %构造频域采样向量Hd(k)
hn=real(ifft(Hdk)); %h(n)=IDFT[H(k)]
Hw=fft(hn,1024); %计算频率响应函数：DFT[h(n)]
wk=2*pi*(0:1023)/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数计算通带最大纹波R即和阻带最小衰减Rs
Rp=max (20*log10(abs (Hgw)));
hgmin=min(real (Hgw));
Rs=20*log10(abs(hgmin));
figure(3);
stem(hn);
figure(4);
subplot (2,1,1);
plot (wk/pi,abs (Hgw));
hold on;
plot(0:1/800:0.25+1/800,[ones(1,201),0],2-0.25-1/800:1/800:2,[0,ones(1,201)]);
hold off
subplot (2,1,2)
plot (wk/pi,angle(Hw))
讨论：截止频率变大，阻带衰减变大,直接对理想滤波器的频率响应采样的“基本频率采样法”不能满足一般工程对阻带衰减的要求。
5、加入过渡点对滤波器频率特性的影响
基于MATLAB，用频率采样法分别设计一个低通和一个高通滤波器，技术指标自定。在过渡带加入1个或2个过渡点，调整过渡点的幅值大小，画出并比较其幅频特性波形、单位响应波形。通过反复尝试，使得滤波器阻带衰减达到最低，此时过渡点的幅度值是多少？总结频率采样法设计FIR滤波器的步骤，讨论过渡点数量和幅值对滤波器频率特性（包括过渡带宽度、阻带衰减、通带纹波、截止频率等）的影响，对比低通、高通滤波器单位响应的显著差异。（滤波器阶次N怎么确定）
T=0.2;
%不断更改T值
Bt=pi/18;wp=pi/3;
m=1;
N=ceil((m+1)*2*pi/Bt); %估算采样点数N
N=N+mod(N+1,2); %使N为奇数
Np=fix(wp/(2*pi/N)); %Np+1为通带[0,wp]上的采样点数
Ns=N-2*Np-1; %Ns为阻带[wp,2*pi-wp]上的采样点数
Hk=[ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)]; %N为奇数，幅度采样采样向量偶对称A(k)-A(N-k)
Hk(Np+2)=T; Hk(N-Np)=T; %加一个过渡采样
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N; %相位采样向量
Hdk=Hk.*exp(j*thetak); %构造频域采样向量Hd(k)
hn=real(ifft(Hdk));
N=length(hn);
Hw=fft(hn,1024); %计算频率响应函数
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数
Rp=max(20*log10(abs(Hgw))); %计算通带最大衰减RP
hgmin=min(real(Hgw));
Rs=20*log10(abs(hgmin)); %计算阻带最小衰减
subplot(2,1,1);
plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
xlabel('w/pi');
ylabel('20*log10(abs(Hgw)))');
xlabel('1个采样点，T=0.2');
subplot(2,1,2);
n=0:N-1;
stem(n,hn);
xlabel('n');
ylabel('hn');
T=0.38
Rp = 0.4797 Rs = -43.3937
T=0.5
Rp = 0.2802 Rs = -29.7060
T=0.2
Rp = 0.7706 Rs = -30.2164
高通：
T=0.2;
%不断更改T
Bt=pi/18;wp=pi*0.7;
m=1;
N=ceil((m+1)*2*pi/Bt);%估算采样点数N
N=N+mod(N+1,2); %使N为奇数
Np=fix(wp/(2*pi/N)); %Np+1为通带[0,wp]上的采样点数
Ns=N-2*Np-1; %Ns为阻带[wp,2*pi-wp]上的采样点数
Hk=[zeros(1,Np+1),ones(1,Ns),zeros(1,Np)]; %N为奇数，幅度采样采样向量偶对称A(k)=A(N-k)
Hk(Np+2)=T; Hk(N-Np)=T; %加一个过渡采样
thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N; %相位采样向量
Hdk=Hk.*exp(j*thetak); %构造频域采样向量Hd(k)
hn=real(ifft(Hdk));
N=length(hn);
Hw=fft(hn,1024); %计算频率响应函数
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数
Rp=max(20*log10(abs(Hgw))); %计算通带最大衰减RP
hgmin=min(real(Hgw));
Rs=20*log10(abs(hgmin)); %计算阻带最小衰减
subplot(2,1,1);
plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
xlabel('w/pi');
ylabel('20*log10(abs(Hgw)))');
xlabel('1个采样点，T=0.2');
subplot(2,1,2);
n=0:N-1;
stem(n,hn);
xlabel('n');
ylabel('hn');
T=0.35
Rp = 0.5687 Rs = -46.5289
T=0.5
Rp = 0.2823 Rs = -29.6693
T=0.2
Rp = 0.8500 Rs = -33.3512
多个采样点（仅供参考）
T1=0.5 T2=0.06
Rp = 0.3350 Rs = -53.0071
T1=0.06 T2=0.5
Rp = 0.3537 Rs = -63.3920
当过渡点的幅值小于最佳幅值时，截止频率减小，通带最大衰减较小，阻带最小衰减降低，其阻带的纹波下降比较快，当过渡点的幅值大于最佳幅值时，通带最大衰减较大，阻带最小衰减较小，截止频率也小于最佳幅值情况下的截止频率，过渡带宽度较小。
高通滤波器单位响应与低通滤波器的单位响应之间的差异：高通滤波器通带频率较高，反映在波形上为每个点位正负相间，但由于有频率较为低的部分，所以有的相邻点之间均为正或均为负，对于低通滤波器，由于通带频率较低，符号变化没有高通的快。
过渡点数量增多时，滤波器阻带最小衰减增大，但过渡带带宽也增大。（未验证）
6、不同窗函数的滤波特性
利用FIR2函数设计上一题的FIR滤波器（可以只选低通或者高通其中一种），过渡点数量和幅值自定。分别采用3种以上不同的窗函数，画出不同窗函数所设计滤波器的幅频特性，比较其通带纹波、阻带衰减、过渡带宽度、截止频率的差异。讨论采用通过加窗改善幅频特性和通过过渡点改善幅频特性这两种方法各自的特点。
T1=0.38; %输入过渡带采样值T
Bt=pi/18;wp=pi/3;%过渡带宽度pi/13，通带截止频率pi/4
m=1; %过渡点个数
N=ceil((m+1)*2*pi/Bt)+1; %估算采样点数N
F=[0,wp/pi,wp/pi+2/N,wp/pi+4/N,1];A=[1,1,T1,0,0];
hn=fir2(N-1,F,A,boxcar(N));
N=length(hn);
n=0:N-1;
Hw=fft(hn,1024); %计算频率响应函数wk=2*pi*[0:1023]/1024;
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数
Rp=max(20*log10(abs(Hgw)))%计算通带最大衰减RP
hgmin=min(real(Hgw));
Rs=20*log10(abs(hgmin)) %计算阻带最小衰减
subplot(3,2,1)
stem(n,hn)
xlabel('n')
ylabel('hn')
subplot(3,2,2)
plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
xlabel('w/\pi')
ylabel('20*log10(abs(Hgw)) dB')
title('矩形窗')
grid on
hn=fir2(N-1,F,A,hanning(N));
N=length(hn);
n=0:N-1;
Hw=fft(hn,1024); %计算频率响应函数wk=2*pi*[0:1023]/1024;
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数
Rp=max(20*log10(abs(Hgw)))%计算通带最大衰减RP
hgmin=min(real(Hgw));
Rs=20*log10(abs(hgmin)) %计算阻带最小衰减
subplot(3,2,3)
stem(n,hn)
xlabel('n')
ylabel('hn')
subplot(3,2,4)
plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
xlabel('w/\pi')
ylabel('20*log10(abs(Hgw)) dB')
title('汉宁窗')
grid on
hn=fir2(N-1,F,A,blackman(N));
N=length(hn);
n=0:N-1;
Hw=fft(hn,1024); %计算频率响应函数wk=2*pi*[0:1023]/1024;
wk=2*pi*[0:1023]/1024;
Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数
Rp=max(20*log10(abs(Hgw)))%计算通带最大衰减RP
hgmin=min(real(Hgw));
Rs=20*log10(abs(hgmin)) %计算阻带最小衰减
subplot(3,2,5)
stem(n,hn)
xlabel('n')
ylabel('hn')
subplot(3,2,6)
plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw)));
xlabel('w/\pi')
ylabel('20*log10(abs(Hgw)) dB')
title('布莱克曼窗')
grid on
通带衰减：矩形窗<汉宁窗<布莱克曼窗
过渡带：矩形窗最小，布莱克曼窗最大，相应的过渡带大的截止频率就高。
窗函数法特点：窗函数法是从时域进行设计,而频率采样法是从频域进行设计.窗函数法由于简单、物理意义清晰,因而得到了较为广泛的应用.窗函数法设用窗函数法设计FIR滤波器是在时域进行的,先用傅里叶变换求出理想滤波器单位抽样相应hd(n),然后加时间窗w(n)对其进行截断,以求得FIR滤波器的单位抽样响应h(n)。要改善减小误差只能通过改变窗的类型或者增加采样点。
频率采样法只能通过优化过渡带采样点的取值和增加过渡点来优化滤波器，但是在这个过程中会增加过渡带的宽度，并且不能控制通带和阻带的波纹幅度。
7、心电图信号处理
x=[-4, -2, 0, -4, -6, -4, -2, -4, -6, -6, -4, -4, -6, -6, -2, 6, 12, 8, 0, -16, -38, -60, -84, -90, -66, -32, -4, -2, -4, 8, 12, 12, 10, 6, 6, 6, 4, 0, 0, 0, 0, 0, -2, -4, 0, 0, 0, -2, -2, 0, 0, -2, -2, -2, -2, 0 ]，这是一个心电图信号，混进了高频噪声，需要设计一个数字低通滤波器，滤除高频噪声，但应保持心电图的波形不失真，请设计滤波器完成对该信号的滤波，比较滤波前后的波形（可参考学堂在线视频6-12，但应修改FIR滤波器设计方法，不要采用等波纹最佳逼近法）。提示：先要对信号进行频谱分析，分析其高频噪声所处的频带，以确定滤波器的截止频率。设计好滤波器之后，对信号的滤波，采用DFT来实现（用循环卷积计算线性卷积），或者直接用conv函数求卷积。如果采用filter函数，应先对x补零一定的长度再进行滤波，否则由于输出序列长度的限制（输出序列长度与x长度一致），可能无法看到滤波后输出的完整波形。
%% 心电信号：
x=[-4, -2, 0, -4, -6, -4, -2, -4, -6, -6, -4, -4, -6, -6, -2, 6, 12, 8, 0, -16, -38, -60, -84, -90, -66, -32, -4, -2, -4, 8, 12, 12, 10, 6, 6, 6, 4, 0, 0, 0, 0, 0, -2, -4, 0, 0, 0, -2, -2, 0, 0, -2, -2, -2, -2, 0 ];
N=length(x);
n=0:N-1;k=0:N-1;wk=2*k/N;
subplot(2,1,1)
stem(x);title('心电信号');xlabel('n');ylabel('x(n)');
subplot(2,1,2)
X=x*(exp(-j*2*pi/N).^(n'*k));
stem(wk,abs(X));title('心电信号幅度谱');
xlabel('w/\pi');ylabel('幅度');axis([0 1 0 400]);
%% 滤波：
x=[-4, -2, 0, -4, -6, -4, -2, -4, -6, -6, -4, -4, -6, -6, -2, 6, 12, 8, 0, -16, -38, -60, -84, -90, -66, -32, -4, -2, -4, 8, 12, 12, 10, 6, 6, 6, 4, 0, 0, 0, 0, 0, -2, -4, 0, 0, 0, -2, -2, 0, 0, -2, -2, -2, -2, 0 ];
T=1;Bt=pi/16;wp=pi/3;m=2;
N=ceil((m+1)*2*pi/Bt)+1;
F=[0,wp/pi,wp/pi+2/N,wp/pi+4/N,1];A=[1,1,T,0,0];
hn=fir2(N-1,F,A,boxcar(N));
[H,w]=freqz(hn,1);mag=20*log10(abs(H));
subplot(2,2,1)
stem(hn);title('低通滤波器脉冲响应');xlabel('n');ylabel('h(n)');
subplot(2,2,2)
plot(w/pi,mag);title('低通滤波器幅度特性');xlabel('\omega/\pi');ylabel('dB');
subplot(212)
y=conv(x,hn);
plot(y);title('滤波之后得到的波形');xlabel('n');ylabel('y(n)');
注意：要一节一节运行，点击“运行节”
首先根据心电信号分析出频谱，如下：
经过分析可以发现在高频处略有干扰，下面设计低通滤波器，截止频率为0.5π，然后将心电信号进行滤波，实现如下：
三、反思总结
第5题插入2个过渡点的情况仅供参考