此前篇章：
引言：在时间序列分析中，平稳序列建模是核心环节之一。通过合理的建模，我们可以深入理解数据的内在规律，并对未来趋势进行预测。本文将根据平稳序列建模的步骤，详细讲解每个环节的操作方法和注意事项，帮助读者掌握平稳序列建模的全流程。
注：本文默认序列是平稳的，非平稳序列的处理和建模后续文章再深入讲解。
一、确定序列是平稳非白噪声序列
1、平稳性检验
平稳性是时间序列建模的前提条件。一个平稳序列的均值、方差和自协方差在时间上保持不变。常用的平稳性检验方法有：
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单位根检验：如ADF检验和PP检验。这些检验的原假设是序列存在单位根（即非平稳），如果检验结果拒绝原假设，则序列是平稳的。
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KPSS检验：KPSS检验的原假设是序列是平稳的，如果检验结果拒绝原假设，则序列是非平稳的。
2、白噪声检验
白噪声序列是指均值为零、方差恒定且各观测值之间相互独立的序列。如果一个序列是白噪声，那么它没有任何有用的信息，建模也就失去了意义。常用的白噪声检验方法有：
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Ljung-Box检验：检验序列的自相关性，如果序列是白噪声，则其自相关系数在所有滞后阶数上都应接近于零。Ljung-Box检验的原假设是序列的自相关系数为零，如果检验结果拒绝原假设，则序列不是白噪声。
二、计算ACF和PACF
自相关函数（ACF）衡量的是序列与其滞后值之间的相关性。通过计算不同滞后阶数的自相关系数，可以了解序列的自相关结构。
1、自相关函数（ACF）
自相关函数（ACF）衡量的是序列与其滞后值之间的相关性。通过计算不同滞后阶数的自相关系数，可以了解序列的自相关结构。
2、偏自相关函数（PACF）
偏自相关函数（PACF）衡量的是序列与其滞后值之间的相关性，排除了中间滞后值的影响。通过计算不同滞后阶数的偏自相关系数，可以了解序列的偏自相关结构。
3、计算方法与图形解读
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使用统计软件：如Python的
statsmodels库或R语言的forecast包，可以方便地计算序列的ACF和PACF，并绘制相应的图形。 -
图形解读：通过观察ACF和PACF图，可以初步判断序列的自相关和偏自相关特征，为后续的模型识别提供依据（通常用于识别模型的阶数）。
三、模型识别
模型阶数的初步识别：根据ACF和PACF的图形特征，可以初步确定模型的阶数
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AR(p)模型：ACF呈拖尾，PACF在滞后p阶后截尾。
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MA(q)模型：ACF在滞后q阶后截尾，PACF呈拖尾。
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ARMA(p, q)模型：ACF和PACF都呈拖尾，但衰减速度不同。
很多时候，图形不是理论上那么完美的拖尾或截尾，我们只是做初步判断模型阶数，最好结合两倍误差原则，以提高定阶准确率，后续还要进行模型检验，检验不通过可能这里的模型定阶错误，需要重新定阶。
四、估计模型中未知参数的值——参数估计
平稳序列的待估计参数：以非中心化的ARMA（p, q）模型为例，
待估计参数有，，共p+q+2个待估计参数，对于中心化后的模型，少了一个μ参数。
对于 μ 参数，通常用矩估计方法，用样本均值估计总体均值：
参数估计方法
1、矩估计：在时间序列分析中，矩估计是一种通过匹配样本矩（如均值、自协方差等）与理论矩来估计模型参数的方法。其核心思想是：通过样本计算的统计量（矩）与模型理论推导的矩相等，构建方程组求解参数。
2、最大似然估计（MLE）：极大似然估计通过最大化模型的似然函数来估计参数。它假设数据服从某种分布（如正态分布），并寻找使观测数据出现概率最大的参数。
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优点：
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在大样本条件下，估计结果具有一致性、渐近正态性和渐近有效性。
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适用于多种类型的模型，包括ARIMA、GARCH等。
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缺点：
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计算复杂度较高，尤其是对于复杂的模型。
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对模型假设（如分布假设）较为敏感。
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3、最小二乘法(OLS)：通过最小化观测值与模型预测值之间的平方差来估计模型参数。适用于线性模型，这种方法在AR模型中特别有用。
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优点：
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计算简单，易于实现。
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在样本量较大时，估计结果具有良好的渐近性质。
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缺点：
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对异常值敏感，因为平方误差会放大较大的误差。
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仅适用于线性模型，对于非线性模型效果不佳。
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4、Yule-Walker估计：Yule-Walker估计是专门用于AR模型的参数估计方法，通过样本自协方差函数来估计模型参数。
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优点：
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计算效率高，适合小样本数据。
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在样本量较小时，估计结果通常比最小二乘法更稳定。
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缺点：
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仅适用于AR模型，不适用于其他类型的时序模型。
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对于高阶AR模型，估计精度可能不如最小二乘法。
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| 方法 | 适用模型 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 最小二乘法 | 线性模型（如AR） | 计算简单，渐近性质良好 | 对异常值敏感，仅适用于线性模型 |
| 极大似然估计 | 通用，需明确似然函数 | 渐近性质优良，适用范围广 | 计算复杂，对模型假设敏感 |
| 矩估计 | 通用，适用于复杂矩条件 | 计算简单，不依赖分布假设 | 估计精度低，适用范围有限 |
| Yule-Walker估计 | AR模型 | 计算效率高，适合小样本 | 仅适用于AR模型，高阶模型精度较低 |
关键总结：
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矩估计：灵活但可能低效，通过矩匹配无需分布假设。
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MLE：依赖分布假设，但模型正确时最优。
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OLS：线性回归专用，最小化残差平方和。
五、模型检验
（一）模型的显著性检验（核心）
一个好的拟合模型应该能够提取序列中绝大部分的样本相关信息，换句话来说。拟合残差项不再包含任何相关信息，即残差序列应该为白噪声序列，否则说明拟合的模型不够有效，通常需要选择其他模型来重新拟合。
因此，模型的显著性检验即为残差序列的白噪声检验。白噪声检验之前的文章讲过，不在多讲。
（二）参数的显著性检验
这部分任务就是要检验每一个未知参数是否显著不为零。目的是使模型最精简。如果某个参数不显著，即表示该参数所对应的那个自变量对因变量的影响不明显，可以选择拟合模型中剔除该自变量。最终模型由一系列显著非零的自变量表示。
使用一些数据分析工具，主要有以下检验方法：
- t检验：通过计算参数估计值与其标准误差的比值（t统计量），判断参数是否显著非零。
- 置信区间：通过计算参数估计值的置信区间，判断区间是否包含零。
六、模型优化
若一个拟合模型通过了检验，说明在一定置信水平下，该模型能够有效拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不一定是唯一的。换句话说，就是可能有比该模型更好的模型。
假如，我们先拟合了一个MA（2）模型并通过了模型检验，我们再回到模型定阶阶段，发现也可以用AR（1）模型，也通过了模型检验，那么哪个模型更好呢?
对于上述问题，可以通过AIC或BIC信息准则进行模型优化，选择最优模型。
模型选择准则
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信息准则：如AIC和BIC，这些准则在模型拟合优度和复杂度之间进行权衡，通常选择AIC或BIC值最小的模型。
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交叉验证：通过将数据集分为训练集和验证集，评估模型在验证集上的表现，选择表现最优的模型。
AIC
定义：AIC 是一种统计模型选择准则，用于评估不同模型的拟合优度和复杂度。其公式为：
其中，L 是模型的最大似然函数值，k 是模型参数的数量。
作用 ：AIC 在模型选择中惩罚了过高的复杂度（即过多的参数），从而防止模型过拟合。选择具有最低 AIC 值的模型作为最优模型。
特点与性质：
相对比较：AIC本身并不提供模型“绝对”优劣的判断，而是用于在多个候选模型中进行相对比较，选择AIC值最小的模型。
非绝对性：AIC值的大小没有绝对意义，仅用于比较不同模型的相对优劣。
广泛适用：适用于任何可以计算最大似然估计的模型，包括线性回归、逻辑回归、时间序列模型、混合模型等。
BIC
定义：BIC 是另一种统计模型选择准则，类似于 AIC，但对模型复杂度的惩罚更为严格。其公式为：
其中，L 是模型的最大似然函数值，k 是模型参数的数量，n 是样本数量。
作用 ：BIC 在模型选择中对复杂度的惩罚力度更大，特别是在较大的样本量下。它倾向于选择更简单的模型以避免过拟合。
特点与性质：
相对比较：与AIC类似，BIC本身并不提供模型“绝对”优劣的判断，而是用于在多个候选模型中进行相对比较，选择BIC值最小的模型作为最优模型。
贝叶斯基础：BIC源自贝叶斯概率理论，旨在近似贝叶斯后验概率，通过惩罚模型复杂度来避免过拟合。
广泛适用：适用于任何可以计算最大似然估计的模型，包括线性回归、逻辑回归、时间序列模型、混合模型等。
AIC与BIC的对比与选择：
准则 核心差异 适用场景 AIC 惩罚项较轻（2k） 侧重预测精度，接受稍复杂的模型 BIC 惩罚项较重（k lnn） 侧重模型简洁性，大样本下更倾向简单模型
经验选择：
若追求样本外预测效果，优先AIC。
若相信真实模型较简单或样本量大，优先BIC。
七、序列预测
前面我们进行了平稳性检验、白噪声检验、模型选择、参数估计、模型检验等工作，最终目的就是要利用这个拟合模型对随机序列的未来取值进行预测。对于这部分内容，我们只要计算出预测值和置信区间即可，在业务场景中用于辅助决策。
注：文章还是停留在理论部分，实操后续再写
# 文章如有错误，欢迎大家指正。我们下册再见叭