时间序列分析（二）——平稳性检验

企业开发 2025-04-11 23:25:27 阅读次数: 0

此前篇章：

时间序列分析（一）——基础概念篇

一、相关知识点

为什么要进行平稳性检验？——进行平稳性检验是时间序列分析中的一个重要步骤，主要原因如下：

经典统计模型的前提条件：许多经典的时间序列模型（如ARIMA、ARMA等）都假设数据是平稳的。如果数据不平稳，直接应用这些模型可能会导致模型参数估计不准确、预测结果不可靠。
避免伪回归：在非平稳时间序列中，即使两个序列之间没有实际关系，也可能表现出显著的相关性，这种现象称为伪回归。例如，如果两个非平稳时间序列都具有相同的趋势，它们可能会表现出很高的相关性，但实际上这种相关性是虚假的。

矩：

一阶矩：期望值(E[X])，描述分布的中心，可用于预测和决策。
二阶矩：随机变量平方的期望（E[X2]），用于计算方差。
二阶中心矩：方差，var(X)，衡量离散程度，可用于风险评估和质量控制。

自协方差函数与自相关函数：

自协方差函数：衡量时间序列在不同时间点的取值之间的协方差。对于时间序列 {Xt}，自协方差函数的定义如下。

特别的，当k=0时， $\gamma(0)=var(X_{t})$ ，即时间序列的方差。

自相关系数（ACF）：自协方差函数的标准化形式，用于衡量时间序列在不同时间点的取值之间的线性相关性。定义如下。

自协方差函数、自相关函数的应用：

描述时间序列的内部结构：帮助分析时间序列在不同时间点的取值之间的依赖关系。例如，如果 ρ(k) 在某个滞后 k 处显著不为零，说明时间序列在滞后 k 处存在相关性。
判断平稳性：对于平稳时间序列，自协方差和自相关只与滞后 k 有关，而与时间 t 无关。
模型识别、预测参考。

严平稳：严平稳要求时间序列的所有统计性质在时间平移下保持不变。严平稳的条件非常严格，实际中很难验证严平稳性，因为需要知道整个联合分布。

宽平稳（也叫弱平稳）：只要求时间序列的均值和自协方差在时间平移下保持不变。我们在分析时，通常只要求宽平稳，而不是严平稳。

宽平稳的条件，有3个：

均值恒定，是一个常数
方差恒定
自协方差只与时间间隔有关（与滞后k有关，而与t无关）

二、图检验（主观判断）

（一）时序图检验

时序图检验是平稳性检验的一种直观方法，通过绘制时间序列的图形来初步判断其是否平稳。只能靠主观初步判断平稳性。

横轴：时间

纵轴：观测值

判断：

均值是否随时间变化（是否存在趋势）
方差是否发生随时间变化（是否存在波动性变化）
是否存在明显季节性

平稳时的特征：

均值恒定：围绕一条水平线波动
方差恒定：波动幅度大致相同
无明显的趋势或季节性

非平稳时的特征：

存在趋势：呈现明显的上升或下降趋势
存在季节性：呈现周期性波动
方差变化：序列的波动幅度随时间变化

趋势非平稳，图例如下：存在向下递减的趋势，故序列非平稳。

方差非平稳，图例如下：虽然均值大致相同（围绕一条线附近波动），但是波动幅度不一样，随时间推移，波动幅度越大。

季节性非平稳，图例如下：均值大致相同，但是在数据在固定间隔（如每月或每两周）呈现周期性波动，数值在特定时间点重复上升或下降。

趋势+季节性非平稳，图例如下：

平稳，图例如下：序列大致围绕一条线附近波动，波动幅度大致相同，且不存在明显的上升或下降趋势，也不存在明显的季节性（固定间隔无明显周期性波动，比较杂乱），因此可以初步判断序列是平稳的（但不一定平稳，因为图检验方法是主观判断的）

（二）自相关图检验

平稳序列：

如果时间序列是平稳的，自相关系数通常会迅速衰减，尤其是在较大的滞后期时，相关性趋于零。
自相关图显示出大部分自相关系数都位于零附近，且不呈现明显的周期性或趋势。

趋势非平稳：

如果时间序列是非平稳的，尤其是具有趋势的非平稳序列，自相关系数通常会在较大的滞后期上仍然较高。这表明数据点之间有较强的依赖关系，序列存在较长时间的相关性。
在具有趋势的序列中，自相关系数往往在滞后期较长时才逐渐衰减，而不是快速趋近于零。

季节性非平稳：

如果时间序列具有季节性，通常会看到自相关图在某些滞后期有显著的峰值。例如，如果数据具有年季节性，自相关系数可能会在12个月的滞后期上出现一个显著的周期性波动。

三、单位跟检验

（一）ADF检验、PP检验

ADF检验是时间序列分析中用于检验平稳性的常用方法，通过构建回归模型来检测单位根，判断序列是否平稳。如果存在单位根，序列是非平稳的；反之，序列是平稳的。

原假设与备择假设：

原假设（H₀）: 序列存在单位根（非平稳）。
备择假设（H₁）: 序列不存在单位根（平稳）。

ADF检验根据模型的形式分为三种（简单看看就行）：

无常数项和趋势项：

有常数项，无趋势项：

有常数项和趋势项：

其中：

yt：时间序列在时间点 t 的值。
Δyt：一阶差分， $\Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}$ 。
α：常数项（截距）。
βt：时间趋势项（可选）。
γ：滞后项的系数，用于检验单位根。
ϕi：差分滞后项的系数，用于控制序列相关性。
ϵt：误差项。
p：滞后阶数。

关键步骤：确定滞后阶数（p）。常用信息准则法（如AIC或BIC），选择使信息准则最小的 p；也可以用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF），通过观察ACF和PACF图确定滞后阶数。

关键代码（python）：

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

result = adfuller(timeseries, autolag='AIC')  # 使用AIC自动选择滞后阶数

# 输出p值
p_value = result[1]

# 根据p值，是否拒绝原假设（95%置信度）
if result[1] < 0.05:
    print("拒绝原假设：时间序列是平稳的")
else:
    print("不可拒绝原假设：时间序列是非平稳的")

局限性：

对小样本数据敏感
预先假设误差项为正态分布
对滞后长度选择敏感（ADF检验需要选择合适的滞后长度）
对季节性或周期性数据不敏感：可能无法准确判断具有季节性或周期性的时间序列的平稳性

解决方法：结合其他检验方法，比如KPSS检验、pp检验

PP检验与ADF检验类似，但允许误差项存在自相关和异方差。PP检验通过构建一个包含滞后项和差分的模型，来检验时间序列是否存在单位根。

原假设与备择假设：与ADF检验的假设相同。

关键代码：

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

result = result = pp_test(x)  # 使用AIC自动选择滞后阶数

# 输出p值
p_value = result[1]

# 根据p值，是否拒绝原假设（95%置信度）
if result[1] < 0.05:
    print("拒绝原假设：时间序列是平稳的")
else:
    print("不可拒绝原假设：时间序列是非平稳的")

PP检验与ADF检验的适用场景：

ADF检验：适用于误差项独立同分布的情况。
PP检验：适用于误差项存在自相关或异方差的情况。

（二）KPSS检验

与ADF检验不同，KPSS检验的原假设是时间序列是平稳的，而备择假设是时间序列存在单位根（非平稳），当然检验方法也肯定不同。

原假设与备择假设：

原假设（H0）：时间序列是平稳的。
备择假设（H1）：时间序列存在单位根，即非平稳

检验步骤：

计算时间序列的累积偏差序列。
基于累积偏差计算KPSS统计量。
将统计量与临界值进行比较，判断是否拒绝原假设

KPSS检验的类型：

水平KPSS检验：检验时间序列是否围绕一个固定水平波动。适用于检测均值平稳性。
趋势KPSS检验：检验时间序列是否围绕一个线性趋势波动。适用于检测趋势平稳性。

关键代码：

from statsmodels.tsa.stattools import kpss

# 水平KPSS检验。regression用于选择模型。
result = kpss(series, regression='c')    # 'c'表示在KPSS检验中，回归模型包含常数项而无趋势项
print(f"P-Value: {result[1]:.4f}")

# 趋势KPSS检验
result1 = kpss(series, regression='c')    # 'c'表示在KPSS检验中，回归模型包含常数项和趋势项
print(f"P-Value: {result1[1]:.4f}")

# 也是根据p值判断是否拒绝原假设