此前篇章（平稳序列）：
一、wold分解
核心定义：Wold分解定理指出，任何离散平稳过程都可以分解为两个不相关的平稳时间序列之和，其中一个为确定性成分（如趋势、季节性），另一个为随机性成分（如白噪声）。
- 确定性成分：反映序列的长期趋势、周期性等规律性特征。
- 随机性成分：表示无法通过确定性模型解释的随机波动。
具体表示为：
其中：
-
Vt 为确定性序列，可以用序列的历史信息的线性组合完全表达。
-
ζt 为随机性序列，表示当期波动不能被历史信息解读。
确定性序列：
- 如果一个平稳时间序列完全由确定性信息组成，即 Xt=Vt，那么该结构即为自回归（AR）模型。
随机性序列ζt ：
其中，，
无穷，且{
}为白噪声序列。
- 如果一个平稳时间序列完全由随机性信息组成，即 Xt=ζt，那么该结构即为移动平均（MA）模型。
- 如果一个平稳时间序列同时包含确定性和随机性信息，即 Xt=Vt+ζt，那么该结构即为自回归移动平均（ARMA）模型。
Wold分解：聚焦于平稳序列的确定性-随机性分离，是ARMA模型的理论基础。
二、Cramer分解
核心定义：Cramer分解定理指出，任何时间序列 {Xt} 都可以分解为确定性趋势和平稳随机误差两部分。
具体表示：
其中：
-
μt 是时间序列的确定性成分，通常由时间 t 的多项式决定。
-
ϵt 是平稳的随机误差或波动，通常由白噪声序列决定。
确定性成分：
其中，d<∞，βj为常数系数。
随机成分：
其中，{at} 为零均值白噪声序列，B 为延迟算子（延迟算子之前文章讲过）。
适用范围： Cramer分解定理不仅适用于平稳时间序列，也适用于非平稳时间序列。对于非平稳时间序列，可以通过差分等方法将其转化为平稳序列，然后再应用Cramer分解。
Cramer分解：扩展至非平稳序列，通过多项式描述趋势，适用于更广泛的实际场景（如含趋势的时间序列）
三、区别（wold分解、Cramer分解)
| 特征 | Wold分解 | Cramer分解 |
|---|---|---|
| 适用范围 | 平稳时间序列 | 平稳和非平稳时间序列 |
| 分解成分 | 确定性部分（Vt）和随机部分（ζt） | 确定性趋势（μt）和随机误差（ϵt） |
| 确定性成分的表示 | 过去值的线性组合（AR模型） | 时间t的多项式函数（趋势） |
| 随机成分的表示 | 移动平均过程（MA模型） | 平稳的随机过程 |
| 目的和应用 | 理解平稳序列；与ARMA模型建立联系 | 分析具有趋势和季节性的序列；通过分解使序列平稳 |
三、差分
（一）差分的定义
差分运算的实质：通过相邻时间点的差值运算，消除序列中的趋势和季节性成分，将非平稳序列转化为平稳序列，从而满足时间序列模型（如ARIMA）对数据平稳性的要求。n阶普通差分可以理解为基于Cramer分解的n阶求导，实质上是一个 d 阶自回归过程，使用自回归的方式提取确定性信息。
目的：
-
去除趋势：通过一阶差分或更高阶差分，去除时间序列中的线性或非线性趋势。
-
去除季节性：通过季节性差分，去除时间序列中的周期性成分。
-
使序列平稳：通过差分运算，使时间序列的均值和方差在时间上保持恒定，满足平稳性假设。
差分的数学表达：
-
一阶差分（普通差分）：
-
二阶差分（普通差分，以此类推到n阶差分）：
-
季节性差分（非普通差分）：
（二）差分操作的步骤
-
观察原始序列（评估平稳性）：绘制时间序列图和单位根检验（如ADF检验）来检查序列是否平稳，判断是否存在趋势或季节性。
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选择差分阶数：一阶差分通常足够消除线性趋势；若残差仍不平稳，尝试二阶差分。
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季节性差分：若存在周期性，进行季节性差分。
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验证平稳性：使用ADF检验或观察ACF/PACF图判断是否平稳。
（三）差分的应用场景
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处理趋势性序列：若序列呈现明显的上升或下降趋势（如股票价格），可通过差分消除。
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处理季节性序列：若序列有周期性波动（如气温、销售额），通过季节性差分消除周期性。
（四）注意事项
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过差分问题：过多的差分可能导致序列方差增大或丢失有用信息。
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单位根检验：若序列存在单位根（非平稳），需通过差分消除。
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逆差分（还原预测值）：预测结果一般需通过逆差分还原到原始尺度（如ARIMA模型中的预测）。
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（普通）差分后的序列长度变短：差分阶数为 d 时，序列长度会减少 d。处理方法：可以在建模时忽略缺失的前 d 个值。
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