[CTSC 2008] 祭祀

[题目链接]

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1143

[算法]

答案为最小路径可重复点覆盖所包含的路径数，将原图G进行弗洛伊德传递闭包，得到一张新图G'，然后求出拆点二分图G2'的最大匹配，N - 最大匹配即为答案，我们尝试证明上述结论：

设祭祀点集合为S，最小路径可重复点覆盖的边集为Path,由于Path覆盖了所有节点，故每条路径上至多选一个点，有： |S| <= |Path| , 因此，如果我们能构造出一组解，使得| S | = | Path | ，就证明了此结论，这里给出一种构造方案：

首先求出拆点二分图的最大匹配，设节点x在拆点二分图上分别对应左部节点x和右部节点x' , 对于每个非匹配节点x0,我们不断访问 x0,match[x0'],match[ match[x0'] ] .. 直到最后遇到一个左部节点y0,使得其右部点y0'为非匹配点，那么就得到了一条路径，其中y0为起点，x0为

首先我们将所有路径的终点构成一个集合E,根据传递闭包的性质，两个祭祀点之间无路径相连，等价于在新图G’上任意两个祭祀点之间没有边，不妨让集合E中的每个节点走一条边，构成集合Next(E),如果E和Next(E)的交集为空集，则S = E

否则，对于交集中的每个点e,我们沿着e所在的路径不断向上移动，直到e不在当前的交集中，从E中删除e，加入e',重复以上过程，直到交集为空，就求出了S的一种组成方案

可以证明，在任何时刻，我们都能找到合法的e'，因为若没有，说明e所在的路径上所有点都可以被其他路径上的点到达，我们可以找到到达e所在的的路径起点的那条路径，将其延伸，使得| Path | 减少1，并覆盖所有节点，与Path的最小性矛盾

综上所述，答案即为最小路径可重复点覆盖所包含的路径数

[代码]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 210

int i,j,k,n,m,u,v,ans;
bool g[MAXN][MAXN],mp[MAXN][MAXN];
bool visited[MAXN];
int match[MAXN];

inline bool hungary(int u)
{
        int v;
        for (v = 1; v <= n; v++)
        {
                if (mp[u][v] && !visited[v])
                {
                        visited[v] = true;
                        if (!match[v] || hungary(match[v]))
                        {
                                match[v] = u;
                                return true;
                        }
                }
        }
        return false;
}

int main() 
{
        
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (i = 1; i <= n; i++) g[i][i] = true;
        for (i = 1; i <= m; i++)
        {
                scanf("%d%d",&u,&v);
                g[u][v] = true;
        }
        for (k = 1; k <= n; k++)
        {
                for (i = 1; i <= n; i++)
                {
                        for (j = 1; j <= n; j++)
                        {
                                g[i][j] |= g[i][k] & g[k][j];
                        }
                }
        }
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
                for (j = 1; j <= n; j++)
                {
                        if (i != j && g[i][j])
                           mp[i][j] = true;
                }
        }
        ans = n;
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
                memset(visited,false,sizeof(visited));
                if (hungary(i)) ans--;
        }
        printf("%d\n",ans);
        
        return 0;
    
}

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