美赛选拔赛二-论文翻译

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喷雾轨迹规划问题

采用喷漆枪或喷漆机将釉面喷涂工艺在压缩空气中喷入薄雾，使釉料附着在粘土上。这是一个容易实现陶瓷生产过程自动化的过程。由于不均匀的釉料在烧成过程中会产生裂纹，导致工件报废，所以在喷涂过程中要求釉料的厚度尽可能均匀。在实际的空气喷涂中，压缩空气通常布置在喷枪嘴的两侧，雾锥被挤压成椭圆形锥体，由喷雾雾形成的喷雾锥体所覆盖的平面上的区域是椭圆形，具有长为 $a$的半长轴和长为 $b$的半短轴，如图1所示。

在椭圆分布区域内满足椭圆双β分布模型：

$a$：喷雾椭圆的半长轴（mm）； $b$——喷雾椭圆的半短轴（mm）； $z_{max}$——漆膜最大厚度； $β_1$——x方向上的β分布指数； $β_2$——y方向中β分布指数方向。

研究表明，雾化压力 $P_1$、隔膜泵压力 $P_2$和喷雾距离 $h$是影响上述参数的主要因素，它们之间的关系如下：

上述模型是喷枪在单点喷洒的模型。然而，在实践中，喷枪需要沿着计划的路径移动，使得待喷涂工件的表面均匀地被釉料覆盖，如图2所示。

图2喷枪的工作原理为雾锥区域的厚度在单点喷洒时中心厚且两侧薄，因此为了确保喷雾表面均匀，雾锥将在图3的相邻路径中重叠。

基于以上背景，我们试图探讨以下四个问题：

1. 根据上述材料，如果喷枪的喷洒方向始终保持不变（如图4所示），请计算平面内喷洒的累积情况，找出喷枪轨迹的合适重叠间隔（P1和P2为0.2MPa，h为225mm）。

2. 对于曲面： $z=-x^2+x-xy (-10≤x≤10, -10≤y≤10)$，确定第1版计算的喷涂间隔是否适用。如果不适用，请重新规划喷枪轨迹，并计算重叠间隔，使釉面厚度差小于10%（不同轨迹的间隔可不同， $P_1$和 $P_2$取 $0.2MPa$， $h$可根据实际需要选择）。

3. 如果喷枪的喷洒方向始终是喷雾锥中心喷洒点的正常方向（如图5所示），在其他条件不变的情况下，请重新计算出问题2的结果。
   

4. 问题3的结果是否适用于任何曲面 $z=f(x,y)$？喷雾路径规划有通用的解决方案吗？