动态规划经典例题

1. 把一个序列 $A$变成非严格单调递增的(单调不下降的)，至少需要修改多少个数。

   序列 $A$的总长度减去 $A$的最长不下降子序列长度即为答案。

   证明:

   对于最长不下降子序列中相邻两数 $A_i,A_j$，之间有 $A_{j+1},A_{j+2},\cdots,A_{i-1}$，需要改变这 $i-j+1$个数，以此类推，也就是序列 $A$的总长度减去 $A$的最长不下降子序列长度

2. 把一个序列A变成严格单调递增的，至少需要修改多少个数?

   构造序列 $B_i=A_i-i$，序列总长度减去 $B$的最长不下降子序列长度。

   证明:

   严格单调递增的 $A$序列， $A_i-A_j\ge i-j$

   变式: $A_i-i\ge A_j-j$

   只要按照 $1$求解即可。