整数拆分问题

第一种

给定n，求把n拆分成若干个不相等的数的方案数。
设$f[i][j]$表示把j拆成i个数。
考虑要不要新添加一个数，并把之前的数全部加一。
$f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i][j-i]$
由于数不相等，数的个数不超过$\sqrt n$
那么时空复杂度$O(n\sqrt n)$

第二种

给定n，求把n拆分成若干个数的方案数，可以相同。
我们要使用到广义五边形数。
五边形数（非广义）长这样。形如$\frac{k*(3k-1)}{2}$（盗图）（逃

广义五边形数是$\frac{k*(3k+1)}{2}$,$\frac{k*(3k-1)}{2}$
前几项是0,1,2,3,5,7,12,15,22
设$P(n)$为拆分方案数
五边形数定理：$P(n)-P(n-1)-P(n-2)+P(n-3)+P(n-5)...=0$
其中P(0)=1，n小于0时P为0。
那么P的递推式是
$P(n)=\sum_{k≥1}(-1)^{k+1}[P(n-\frac{k*(3k+1)}{2})+P(n-\frac{k*(3k-1)}{2})]$
注意到k的级别是$\sqrt n$的，那么时间复杂度也是$O(n\sqrt n)$