周五听了一讲报告，报告中老师讲述了传统的时序模型预测问题，因为认真的记录了笔记，所以利用今天时间整理出来，供以后学习作参考。
传统的时序模型预测问题一共有8类模型：
1）平滑法
平滑法常用于趋势分析和预测，利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，视序列平画画。有两种平滑方法：移动平滑法和指数平滑法。
移动平滑法公式：
利用前t时刻的前p个时刻的平均值，来预测t时刻的值。
指数平滑法：指数平滑法是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法
指数平滑法公式：
指的是这一时刻的预测值，
是上一时刻的真实值，
是上一个时刻的预测值，
为一个权重系数。一般情况下
的初值取
或者前k个值的平均值。
指数平滑法分为：一阶平滑法、二阶平滑法和三阶平滑法。
上面公式属于一阶平滑法，其具体计算如下：
取F的初值为x1，，
以此类推。
其他平滑法可以参考：https://www.doc88.com/p-50886822041.html
2）趋势拟合法
趋势拟合法把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立回归模型序列的特征，可分为线性拟合和曲线拟合。
简单的线性拟合公式就是我们常见的的形式，也有一些指数拟合的方法（曲线拟合）
3）组合模型
时间序列的变化主要受到长期趋势（T）、季节变动（S）、循环变动（C，也叫周期变动）和不规则变动（）这4个因素的影响。根据序列的特点，可以构建加法模型和乘法模型。
加法模型：
乘法模型：
也可以把加法模型和乘法模型混合使用。
4）AR模型
以 前p期的序列值为自变量，随机变量
的取值为因变量，建立的多元线性回归模型。
模型表示如下：
认为r时刻主要受前p个时刻的影响，其中为权重参数，
是一个误差项是抢钱的随机干扰，是均值为0的白噪声序列。
如何决定p是一个关键问题，一般情况下通过自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）决定。
AR模型性质如下：
| 均值、方差 | 常数（保证序列平稳性） |
| 自相关系数 | 拖尾 |
| 偏自相关系数 | p阶截尾 |
ACF、PACF、拖尾和截尾稍后补充。
5）MA模型
t时刻的取值与前各个时间的序列值无关，但是与前q期的随机扰动
有关，以此来建立线性回归模型。
是当期的随机干扰，为零均值的白噪声序列，u是序列{
}的均值。
MA模型性质如下：
| 均值、方差 | 常数（保证序列平稳性） |
| 自相关系数 | q阶截尾 |
| 偏自相关系数 | 拖尾 |
一般情况下，q也是通过ACF和PACF确定。
6）ARMA模型
t时刻的取值不仅与前p期的序列有关，还与前q阶的随机扰动有关。
是当期的随机干扰，为零均值的白噪声序列，特别的当p=0时，是MA（q）模型;当q=0时，是AR（p）模型。
ARMA模型性质如下：
| 均值、方差 | 常数（保证序列平稳性） |
| 自相关系数 | 拖尾 |
| 偏自相关系数 | 拖尾 |
一般情况下，q也是通过ACF和PACF确定。
7）ARIMA模型
许多非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质，称这个非平稳序列为差分平稳序列。对差分序列就可以使用ARIMA模型进行拟合，ARIMA模型一共有三个参数（p,d,q），p,q根据上表确定，d为差分阶数。
差分法一般有一阶差分，二阶差分等，所谓差分就是用后一个数去减前面一个数得到的值，如一个序列为
一阶差分为：
二阶段差分为：
8）ARCH模型和GARCH模型
ARCH模型能够准确地模拟时间序列变量的波动性变化，适用于序列具有异方差行并且异方差函数短期自相关。
GARCH模型称为广义ARCH模型，是ARCH模型的拓展，相对于ARCH模型，GARCH模型及其衍生模型更能反映实际序列中的长期记忆、信息的非对称性等性质。
补自相关性和偏自相关性知识：
两个变量X与Y的协方差为：
相关系数为：
一个变量的协方差为：
自相关系数为：
平稳AR（p）模型的自相关系数呈指数的速度衰减。始终有非零取值，不会在k大于某个常数之后就恒等于0，这个性质就是平稳AR（p）模型的自相关系数p具有拖尾性。
对于一个平稳（p）模型，求出延迟k期自相关系数p时，实际上得到的并不是与
之间单纯的相关关系，因为
同时还会受到中间p-1个随机变量的影响。所以自相关系数p里实际上掺杂了其他变量对
与
的相关影响，为了单纯的测出
对
的影响，引进偏自相关性系数的概念。
