最小公倍数与素数的有趣问题

最小公倍数与素数的有趣问题

有趣的数学问题，在 $b$站看到的，太妙了。

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原问题：求 $2020$个连续整数，其中恰好只有一个质数。

原答案：考虑 $(2020!+2),(2020!+3),\dots,(2020!+2020)$
一共 $2019$个连续合数。
令大于 $2020!+2020$的最小质数是 $p$。
则答案为： $p,p-1,p-2\dots,p-2019$。

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拓展：求连续 $k$个正整数中恰好只有一个素数，这 $k$个数，并且这 $k$个数的和是最小的，按顺序输出这 $k$个数 $(k>1)$。

考虑 $1,2,3\dots,k$的最小公共倍数 $lcm(1,2,3,\dots,k)=x$

对于 $x+2,x+3,x+4,\dots,x+k$，显然这连续 $k-1$个数都是合数。

设大于 $x+k$的最小质数是 $p$。

则答案为： $p-k+1,p-k+2,p-k+3,\dots,p$。

证明：因为 $p$是大于 $x+k$的最小质数，则 $[x+2,p-1]$都为合数。

$(p-1)\geq x+k\geq(x+2)$.

则至少有 $(x+k)-(x+2)+1=k-1$个合数。

则从 $p$开始 $p-1,p-2,p-3\dots,p-(k-1)$肯定都为合数。

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对于编程来说，对于 $k$较小，我们只需找出那个质数就可以了，对于较大的数，需要用到高精度求 $lcm$，高精度求质数实属点麻烦。