自动控制原理（来自于b站的笔记整理）

一、自动控制原理 ¹

1. 控制原理

1.1 开环与闭环系统

简单的开环系统

闭环系统转换成为闭环系统：

1.2 稳定性分析²

对于一个系统，如果没有稳定性的先决条件，那么其他的（稳态误差分析、瞬态误差分析）将无从说起。稳定性：传递函数极点在极坐标中的左半边。（横坐标为极点，纵坐标为零点）
零点和极点的定义如下：

分析为什么极点为负的，系统是稳定的：

下面这个图要更加直观：

那么我们如何设计控制器？就是将最终的传递函数的极点在左边平面，叫做极点配置。现代控制理论中，研究的是状态矩阵的特征值，对应的就是传递函数的极点。

1.3 一起燃烧卡路里/科学减肥（系统分析实例_数学建模部分）

框图表示如下：

设计比例控制器（最为简单的控制器）如下：
$u=k_{p} e$
那么如何设计该控制器，让最终的系统趋向于稳定状态呢？（也就是说传递函数的极点在左半边平面）

学习控制理论一定要从微分方程入手，弄清楚微分方程与传递函数之间的关系就会容易理解很多。
最终产生稳态误差。

1.4 终值定理与稳态误差³

下面讨论的系统是存在参考信号的系统，类似于下图。终值定理，用来算系统输出的极限的工具。（FVT）

下图解释了弹簧阻尼系统的传递函数，还有在冲激响应下系统的** 终值定理**的使用方式。



这里需要注意的是第二种情况，代表了输入参考信号为c时（相当于r）的情况。
条件如下：

最终求出来的极限值经过运算就是系统的稳态误差。

1）比例控制

举例说明。下面是一个最为简单的一阶系统，采用的控制方式是比例控制。

利用定理分析稳态误差如下：

这里说明了比例控制的局限性，必须采用更加实用性的控制算法。比例控制充法消除稳态误差

2）比例积分控制

并有下面变换方式：

通过引入一个积分信号，让本来的一阶系统变成一个二阶系统。

1.5 根轨迹

再回到弹簧系统，是一个二阶系统。

对于高阶系统不过也是几个一阶系统的叠加，如下：

这一节评估了根的位置对于控制器的影响。

2. 工具

2.1 拉普拉斯变换

• s通常是代表着微分的。1/s代表的是积分
• 计算拉普拉斯是采用输出/输入计算方式。
• 拉普拉斯变换与z变换的区别？？

2.2 拉普拉斯逆变换⁴

$\begin{aligned} &=\frac{1}{\omega_{n}} \frac{w_{n}}{s^{2}+w n^{2}} \\ x_{(t)} &=\frac{1}{w_{n}} \sin w_{n} t \end{aligned}$

2.3 矩阵的性质

矩阵有下面的性质，现代控制理论的分析中常常会用到。

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二、 现代控制原理串讲

首先要了解一个简单的弹簧阻尼模型，作为控制的对象，其满足胡克定律。

最基础的当然是状态空间表示法：

当然，通过拉普拉斯变换可以转换成下面的形式，控制对象是弹簧阻尼块。

其中有一条重要的信息，实际上矩阵A的特征值就是G(s)的极点，决定了系统的稳定性。上面的右式时通用的。

去分析一个系统，主要需要考虑以下几个方面：

• 可控性

  

• 李雅普诺夫稳定性：确定系统的稳定状态，控制系统可以满足数学的条件。在一阶系统中，常常用极点分析的方法去观察稳定性。

• 可观性：状态观测器。系统状态加入不可直接测量，那么就需要通过输出和控制量去估计状态。状态观测器需要达到一个收敛的状态。建立观测器时，实际上是建立一个反馈系统，使得误差等于0。

  对于可观测性，需要问一个问题：是不是所有系统都是可测的？借鉴可控性的推导，有下面的结论：

  

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1. https://www.bilibili.com/video/av62276712 ↩︎

2. https://www.bilibili.com/video/BV1s4411X7qd/?spm_id_from=333.788.videocard.0 ↩︎

3. https://www.bilibili.com/video/BV14J411A7M2 ↩︎

4. https://www.bilibili.com/video/BV1NE411d78U ↩︎