UA MATH567 高维统计II 随机向量8 图的Max-cut问题 0.5近似算法的运行时间分析
我们之前讨论了图的max-cut问题的0.5近似算法，也就是给定一张图，按掷硬币的概率决定是否切开一条边，这样的算法平均能切开一半的边：
C U T ( G , x ) = 1 2 ∑ x i x j = − 1 A i j = 1 4 ∑ i , j A i j ( 1 − x i x j ) = 1 4 ∑ i , j A i j − 1 4 ∑ i , j A i j x i x j CUT(G,x)=\frac{1}{2}\sum_{x_ix_j=-1}A_{ij} = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-x_ix_j) \\ = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}-\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij} x_ix_j CUT(G,x)=21xixj=−1∑Aij=41i,j∑Aij(1−xixj)=41i,j∑Aij−41i,j∑Aijxixj
假设 x ∼ U n i f ( { − 1 , 1 } n ) x \sim Unif(\{-1,1\}^n) x∼Unif({
−1,1}n)，则
E C U T ( G , x ) = 1 2 ∣ E ∣ ≥ 1 2 M A X − C U T ( G ) ECUT(G,x)=\frac{1}{2}|E| \ge \frac{1}{2}MAX-CUT(G) ECUT(G,x)=21∣E∣≥21MAX−CUT(G)
说明
E C U T ( G , x ) = E 1 4 ∑ i , j A i j ( 1 − x i x j ) = 1 4 ∑ i , j A i j ( 1 − E x i x j ) = 1 4 ∑ i , j A i j ( 1 − E x i E x j ) = 1 4 ∑ i , j A i j = 1 2 ∣ E ∣ ECUT(G,x) =E\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-x_ix_j) = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-Ex_ix_j) \\ = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-Ex_iEx_j) =\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij} = \frac{1}{2}|E| ECUT(G,x)=E41i,j∑Aij(1−xixj)=41i,j∑Aij(1−Exixj)=41i,j∑Aij(1−ExiExj)=41i,j∑Aij=21∣E∣
也就是说我们按均匀分布的思路随机对每个顶点分类，这样得到的分割平均可以“切开”一半的边，称这个结果为0.5-approximation algorithm。
现在我们讨论一下这个算法需要的时间，也就是经过多少次"切割"我们才能得到0.5近似。
为了便于讨论， ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ∀ϵ>0，我们分析 ( 0.5 − ϵ ) (0.5-\epsilon) (0.5−ϵ)-近似算法：
C U T ( G , x ) ≥ ( 0.5 − ϵ ) M A X − C U T ( G ) CUT(G,x) \ge (0.5-\epsilon)MAX-CUT(G) CUT(G,x)≥(0.5−ϵ)MAX−CUT(G)
尝试找到它的平均运行时间。记
P ϵ = P ( C U T ( G , x ) ≥ ( 0.5 − ϵ ) M A X − C U T ( G ) ) P_{\epsilon}=P(CUT(G,x) \ge (0.5-\epsilon)MAX-CUT(G)) Pϵ=P(CUT(G,x)≥(0.5−ϵ)MAX−CUT(G))
则平均运行时间与 1 / P ϵ 1/P_{\epsilon} 1/Pϵ成正比，根据定义
E C U T ( G , x ) ≥ 1 2 M A X − C U T ( G ) E C U T ( G , x ) ≤ P ϵ M A X − C U T ( G ) + ( 1 − P ϵ ) ( 0.5 − ϵ ) M A X − C U T ( G ) ) ECUT(G,x) \ge \frac{1}{2}MAX-CUT(G) \\ ECUT(G,x) \le P_{\epsilon}MAX-CUT(G) \\+(1-P_{\epsilon})(0.5-\epsilon)MAX-CUT(G)) ECUT(G,x)≥21MAX−CUT(G)ECUT(G,x)≤PϵMAX−CUT(G)+(1−Pϵ)(0.5−ϵ)MAX−CUT(G))
于是
1 2 M A X − C U T ( G ) ≤ P ϵ M A X − C U T ( G ) + ( 1 − P ϵ ) ( 0.5 − ϵ ) M A X − C U T ( G ) ) \frac{1}{2}MAX-CUT(G) \le P_{\epsilon}MAX-CUT(G) \\+(1-P_{\epsilon})(0.5-\epsilon)MAX-CUT(G)) 21MAX−CUT(G)≤PϵMAX−CUT(G)+(1−Pϵ)(0.5−ϵ)MAX−CUT(G))
消去 M A X − C U T ( G ) MAX-CUT(G) MAX−CUT(G)，我们可以得到
P ϵ ≥ ϵ 0.5 + ϵ P_{\epsilon}\ge \frac{\epsilon}{0.5+\epsilon} Pϵ≥0.5+ϵϵ
于是预计的抽样次数为
1 / P ϵ ≤ 1 + 1 2 ϵ 1/P_{\epsilon} \le 1+\frac{1}{2\epsilon} 1/Pϵ≤1+2ϵ1