难度

$\color{cyan}提高+/省选-$
$-\frac{8.02k}{48.38k}$

题意

首先给你一个 $x$ 坐标轴，开始在原点，正方向处给定 $n$ 个点。
给定这每个点的坐标 $pos_i$ 以及每个点的收益 $sco_i$ （可正可负）
给你一个弹跳力 $d$ 。一开始每次跳跃只能向右移动 $d$ 个单位。
你花 $g$ 块钱，使得弹跳力变成一个区间 $S=[\max(1,d-g) ,d+g]$
表示每次跳跃你都可以向右移动一定整数长度，这个长度要在 $S$ 区间中。
但是你每次必须跳在给定的点中。

问你至少花多少钱，才可以使得某种跳跃方案，你的收益超过 $k$ 。
若无法收益超过 $k$ ，输出 $- 1$

数据范围

$1\le n\le 5\times 10^5$
$1\le d\le 2000$
$1\le pos_i,k\le 10^9$
$sco_i|<10^5$

思路

1.最开始的思路

首先我们抛开其他的条件，就问你：给定 $g$ 块钱，你怎么算此时的收益最大值？

每次都可以从一些点跑到另一些点，直接 $D P$ 不就好了？
设 $d p (i)$ 表示走到第 $i$ 个点的最大收益，然后列出简单的状态转移方程：
$dp(i)=\max\{dp(st),dp(st+1),\cdots,dp(ed)\}+sco_i$
因为你每次走的长度在区间 $[\max(1,d-g),d+g]$ 范围之内，因此转移图肯定是这样的：
如果是上面那种转移一推多，时间复杂度就会大幅增加。所以我们选择下面这种。
对于每一个 $i$ ，易得这一段 $[s t, e d]$ 肯定是 像滑动窗口一样向右移动的，这就是这题的突破口。
我们每次要求这一段区间的最大值，直接使用单调队列RMQ即可。时间复杂度 $O (N)$

为什么不能用 $S T$ 表？

$S T$ 表是静态的。每次你转移都会更新 $d p (i)$ ，那就无法在时间内实现该效果了。

2.求花费最小？

来，跟我读：

求收益最大的最小花费用二分
求 $x$ 最小时 $y$ 最大用二分
求 $x$ 最大时 $y$ 最小用二分
~~我咋老记不住呢？？？~~

对于花费 $g$ ，明显符合二分性质。我们就二分它呗。

3.具体实现单调队列？

这单调队列的代码实现也是让我敲得很费劲。
由于我们的状态转移会修改数组的值，我们每次就 $c o p y$ 一下原 $s c o$ 数组变成 $d p$ 数组
首先你最开始在原点，即第 $0$ 个点。状态转移的方程 $i$ 肯定是从 $1$ 到 $n$ 的。
因为 $i$ 和滑动窗口的右端点是不对应的，我们还要记录一下滑动窗口的右端点下标 $s t$

继续看图啦！在这里插入图片描述
进队列

首先 $e d$ 能进滑动窗口的条件： $i-ed\ge d_2$
若能进单调队列，然后再按照单调队列的代码，删重 while(Q.size() && dp[Q.back()] <= dp[ed])Q.pop_back();
当然也可以每次 $c h e c k$ 到一半发现收益大于 $k$ 然后返回，我这里没有这么写。

出队列

然后，考虑队头是否还在窗口中的条件： $i-st\le d_1$
如果不满足，我们直接将这个点给删掉。

状态转移

我们如果 Q.size()!=0 满足的，也就是说该点可以通过前面的点转移过来，直接转移
dp[i] = dp[Q.front()] + sc[i];
如果 Q.size()==0 也就是说该点不能通过前面的转移过来，那么直接给该点设置一个负无穷大的收益即可。

答案

收益最大值就是 $\max\{dp(0),dp(1),\cdots,dp(n)\}$

4. 小优化

数据量大，快读。
如果所有的收益为正的点全拿了，都无法超过 $k$ ，直接输出 $- 1$

核心代码

时间复杂度： $O(N\log N)$
空间复杂度： $O (N)$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 5e5+50;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

ll dis[MAX],sc[MAX];
ll dp[MAX];
deque<ll>Q;
int n,d,k;

ll check(int x){
    
    
    int d1 = d + x;
    int d2 = max(1,d-x);
    ll ans = 0;

    for(int i = 1;i <= n;++i){
    
    
        dp[i] = sc[i];
    }
    while(Q.size())Q.pop_back();

    int ed = -1;		/// 因为一开始原点的下标为0的点还没有进入队列

    dis[0] = 0;
    sc[0]  = 0;
    dp[0]  = 0;

    for(int i = 1;i <= n;++i){
    
    
        while(ed + 1 < i && dis[i] - dis[ed+1] >= d2){
    
    		/// 进队列
            ed++;
            while(Q.size() && dp[Q.back()] <= dp[ed])Q.pop_back();
            Q.push_back(ed);
        }
        while(Q.size() && dis[i] - dis[Q.front()] > d1)Q.pop_front();	/// 出队列

        if(Q.size()){
    
    		/// 状态转移
            dp[i] = dp[Q.front()] + sc[i];
            ans = max(ans,dp[i]);
        }else dp[i] = -LINF;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    
    
    n = read();
    d = read();
    k = read_ll();
    ll pos = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
    
    
        dis[i] = read_ll();
        sc[i] = read_ll();
        if(sc[i] > 0)pos += sc[i];
    }
    if(pos < k){
    
    
        puts("-1");
        return 0;
    }

    int L = 0,R = dis[n];
    while(L < R){
    
    
        int M = L + R >> 1;
        if(check(M) >= k)R = M;
        else L = M + 1;
    }
    printf("%d",L);
    return 0;
}

【训练题28：二分+单调队列】[NOIP2017 普及组] 跳房子 | 洛谷 P3957

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