算法设计----整数划分递归相关问题
一.原问题
整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
假设整数n,能被划分为i段n=a1+a2+...ai，其中ak为n中划分的最大整数（1<=ak<=n，1<=k<=i）,则{a1,a2...ai}是n的ak的一个划分
当n=6时我们可以获得以下这几种划分
一共有11种
分析：讨论整数n和划分的最大整数m的关系，可以分为以下几种情况：
①当整数n==1,只有一种划分，即{1}
②当划分的最大整数m==1时，只有一种划分，即{1，1......1}
③当n<m时，整数n可以划分的最大的数为n,即f(n,n)种划分
④当n==m时，根据需不需要划分最大整数m,可以分为两种情况：
a:需要划分最大整数为m,只有一种划分，即{m}
b:不需要划分最大整数为m,即可能划分的最大整数为m-1，即有f(n,m-1)种划分
⑤当n>m时，根据需不需要划分最大整数m,可以分为两种情况：
a:需要划分最大整数为m,所以继续在n-m中划分，划分的最大整数还可能为m，所以有f(n-m,m)种划分
b:不需要划分最大整数为m，所以划分的最大整数可能为m-1,即有f(n,m-1)种划分
综上所述的转移状态方程：
1 当 n==1或 m==1时
f（n，m）= f(n,n) 当n<m时
1+f(n,m-1) 当n==m时
f(n-m,m)+f(n,m-1) 当n>m时
python源代码：
#整数划分问题
#假设整数n,能被划分为i段n=a1+a2+...ai，其中ak为n中划分的最大整数（ak<=n，k<=i）,其中{a1,a2...ai}是n的ak的一次划分
#现在求整数n能够划分成多少种
def huafen(n,m): #n为整数，m为划分的最大整数，m<=n
if(n==1 or m==1):
return 1
elif n==m:
return 1+huafen(n,m-1)
elif(n<m):
return huafen(n,n)
else:
return huafen(n,m-1)+huafen(n-m,m)
a=[]
t=0
def digui(sum,k,m,l):
global a
global t
if(sum>l):
return
elif(sum==l):
t+=1
print("第",t,"种：")
for x in range(len(a)-1):
print(str(a[x])+"+",end="")
print(a[-1])
else:
c=range(m)
for y in reversed(c):
y+=1
sum+=y
a.append(y) #加入到a列表中
digui(sum,k+1,y,l) #递归调用
a.pop() #出列表，恢复现场，回溯
sum-=y #恢复现场，回溯
def main():
print("请输入一个整数：")
v=int(input())
p=huafen(v,v)
print("该整数的划分一共有"+str(p)+"种")
print("所有的划分如下：")
digui(0,0,v,v)
main()
运行结果如下：
二.变形1
如果限制每一个划分的整数不能一样，即划分的每一个整数不同 ，则又有多少种划分呢？
其实我们只需在原问题进行修改即可：
①当m==1时，我们需要设置{1，1，1，....1}为0种
②当n>m时，我们需要修改的是当需要选取最大整数m时 ，我们将最大值m-1,即f(n-m,m-1) 种
其余的不需要修改
pythoon源码：
#整数划分变形问题
def huafen(n,m): #n为整数，m为划分的最大整数，m<=n
if(n==1):
return 1
elif(m==1): #当m==1时，设置1，1，1.....1}为0种
return 0
elif n==m:
return 1+huafen(n,m-1)
elif(n<m):
return huafen(n,n)
else:
return huafen(n,m-1)+huafen(n-m,m-1) #使下次划分的整数小于上次的划分的最大整数
a=[]
t=0
def digui(sum,k,m,l):
global a
global t
if(sum>l):
return
elif(sum==l):
t+=1
print("第",t,"种：")
for x in range(len(a)-1):
print(str(a[x])+"+",end="")
print(a[-1])
else:
c=range(m)
for y in reversed(c):
y+=1
sum+=y
a.append(y)
digui(sum,k+1,y-1,l) #这里需要将下一次的最大划分整数修改为上一次划分最大整数-1，不能与上一次相同
a.pop()
sum-=y
def main():
print("请输入一个整数：")
v=int(input())
p=huafen(v,v)
print("该整数的划分一共有"+str(p)+"种")
print("所有的划分如下：")
digui(0,0,v,v)
main()运行结果如下：
三.变形2
如果限制每次划分的整数的个数 ，则又有多少种划分呢？（类似与盘子分苹果问题）
（其中n为整数，每次划分只能划分为m个数）
分析：①当m==1时，只有一种划分，即{n}
②当n<m时，由于划分的整数不可能为负数和小数，则划分不尽，所以为0
③当n==m时，也是只有一种划分。即{1，1，1，1...1}
④当n>m时，根据划分的整数中是否包含1，可以分为两种情况：
a:划分的整数中至少有一个1，则在n-1中继续划分为m-1份，即f(n-1,m-1)种划分
b:划分的整数中没有1，所以m个部分划分的整数必须都大于1，所以先给m个部分设为1，接着将剩余的n-m整数对m个部分分别加数，即要保证m个部分均大于1，即n-m>=m,则总共有f(n-m,m)种;如果n-m<m,则f(n-m,m)为0，所以条件②不能省略
综上所述方程：
1 当m==1 或者 n==m 时
f( n,m) = 0 当m>n时
f（n-1,m-1）+f(n-m,m) 当n>m时
python源代码：
#整数划分变形问题
def huafen(n,m): #n为整数，m为每次划分的整数个数
if(m==1 or n==m):
return 1
elif(m>n): #当m>n时
return 0
else:
return huafen(n-1,m-1)+huafen(n-m,m) #选取至少有一个1和不选取1的种数
a=[]
t=0
def digui(sum,k,m,l,q):
global a
global t
if(sum>l):
return
elif(k==q and sum==l):
t+=1
print("第",t,"种：")
for x in range(len(a)-1):
print(str(a[x])+"+",end="")
print(a[-1])
else:
c=range(m)
for y in reversed(c):
y+=1
sum+=y
a.append(y)
digui(sum,k+1,y,l,q)
a.pop()
sum-=y
def main():
v,g=map(int,input("请输入两个以空格隔开的数：").split()) #整数v,和每次划分的整数个数g
p=huafen(v,g)
print("该整数的划分一共有"+str(p)+"种")
print("所有的划分如下：")
digui(0,0,v,v,g)
main()
运行结果如下：
三.变形3
如果n划分成若干个奇正整数之和 ,则这样有多少种划分？
（f(n,m)代表有多少种划分，其中n为整数，m为不大于n的最大整数的划分）
分析：①当m==1时，只有一种划分，即{1，1,...1}
②当m为奇数时：根据m和n的关系可以分成三种情况
a.当n<m时，则有f(n,n)种划分
b.当n==m时，根据是否选取最大整数m，可以分成两种情况
*选取最大奇整数m,则只有一种划分，即{m}
*不选取最大奇整数m,则共有f(n,m-2)种划分
c.当n>m时，根据是否选取最大整数m，可以分成两种情况
*选取最大奇整数m,则共有f(n-m,m)种划分
*不选取最大奇整数m,则共有f(n,m-2)种划分
③当m为偶数时：根据m和n的关系可以分成三种情况：
a.当n<m时，可以分成两类:（m为偶数，则m-1为最大奇数）
*当n<m-1时，则共有f(n,n)种划分
*当n==m-1时，则共有f（n，m-1）种划分
b.当n==m时，则共有f(n,m-1)种划分
c.当n>m时，根据是否选取最大奇整数m-1，可以分成两种情况
*选取最大奇整数m-1,则共有f(n-m+1,m-1)种划分
*不选取最大奇整数m-1,则共有f(n,m-3)种划分
python源代码：
def huafen(n,m): #n为整数，huafen(n,m)代表：m为划分的最大整数共有多少种，m<=n
if(m==1): #若m==1
return 1
elif (m%2): #若m为奇数
if(n<m): #n<m
return huafen(n,n)
elif(n==m): #是否选取最大奇整数m
return 1+huafen(n,m-2)
else: #是否选取最大奇整数m
return huafen(n-m,m)+huafen(n,m-2)
else: #若m为偶数
if(n<m):
if(n<m-1):
return huafen(n,n)
else:
return huafen(n,m-1)
elif(n==m):
return huafen(n,m-1)
else: #是否选取最大奇整数m-1
return huafen(n-m+1,m-1)+huafen(n,m-3)
a=[]
t=0
def digui(sum,k,m,l):
global a
global t
if(sum>l):
return
elif(sum==l):
flg=1
for x in a: #在原问题答案的基础下，挑选出整数全部都是偶数的列表
if(x%2==0):
flg=-1
break
if(flg==1):
t+=1
print("第",t,"种：")
for x in range(len(a)-1):
print(str(a[x])+"+",end="")
print(a[-1])
else:
c=range(m)
for y in reversed(c):
y+=1
sum+=y
a.append(y)
digui(sum,k+1,y,l)
a.pop()
sum-=y
def main():
print("请输入一个整数：")
v=int(input())
p=huafen(v,v)
print("该整数的划分一共有"+str(p)+"种")
print("所有的划分如下：")
digui(0,0,v,v)
main()运行结果如下：
