这两个问题几乎是相同的，但是以放苹果的方式来思考问题明显会更易理解。下面先看一下两个问题的描述。
整数划分
描述
将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数。
分苹果问题
M个同样的苹果放N个同样的盘子，允许有盘子空着, 问有多少种放法。注意：5 1 1和1 5 1是同一种放法
一、问题分析
定义函数f(m,n)。
对于整数划分： m是要划分的整数，n是划分里可能最大的数（不一定会有n）；
对于放苹果： m要放的苹果总数，n是盘子个数。
以下为可能出现的m、n情况：
（1）m=1,或n=1，f（m，n）=1。在整数划分里，数字1显然只有一种划分方法，数m的最大划分为1时也只有一种情况（m个1）；分苹果里，一个苹果只有一种方法（不区分盘子），一个盘子也只能把所有苹果都放进来这一个结果。
（2）m<1,或n<1，f（m，n）=0。整数划分里，要求数为正数，所以小于1无法进行划分，划分方式为0。当没有苹果或者没有盘子时，也是无法“放苹果的”。
（3）m<n，f（m，n）= f（m，m）。被划分的数为m，当然划分里最大的的数也只能是m了；苹果只有m个，最多放到m个盘子里。
（4）m=n，f（m，n）= 1+f（m，m-1）。
数m的最大划分为m的情况=包含m的划分（m自身）+不包含m的划分（最大只能为m-1）；m个苹果放到m个盘子里=第m个盘子放苹果+第m个盘子不放苹果；
（5）m>n，f（m，n）= f（m-n，n）+f（m，n-1）。如果理解了第4条，就好理解很多。
对于放苹果，把m个苹果放到n个盘子里=n个盘子都不为空+至少有一个为空。而要实现n个盘子都不为空，可以先把n个盘子里各放一个苹果，还剩m-n个苹果随机放，即为f（m-n，n）。至少有一个为空也等于最多n-1个盘子放苹果，f（m，n-1）。
对于整数划分，还是比较抽象的。
数m的划分最大可能为n=数m划分里一定包含n+数m的划分里一定不含n（最大就为n-1）
怎么实现一定包含n呢？那我们就先从整数m里分一个n出来呗，易有m-n=m-n（哈哈，假装算一下），这就保证了一定含n，剩下的数为m-n再随机划分为f（m-n，n），不需要考虑m-n和n的相对大小（递归哦，我们3,4，5就是干这个的）。
一定不含n就简单了吧，那就让最大的可能变为n-1啊，f（m，n-1）。
个人感觉整数划分和放苹果的理解难度相差太大，当初整数划分困惑了我很久，尤其是第5点，直到苹果砸了一下我的脑袋。
建议从放苹果的角度理解
（哦，在放苹果问题里，有的是认为没有苹果的时候，结果就为1，个人理解起来很困惑，而且按照那样的思路理解好了后，遇到整数问题就得换思路了。）
二、源代码
#include <iostream>
using namespace std;
int f(int m, int n);
int main()
{
int num;
while (cin>>num)
{
cout << f(num, num) << endl;
}
return 0;
}
int f(int m, int n)//m为苹果个数，n为盘子个数
{
if (n == 1 || m == 1) return 1;
if (n <1 || m < 1) return 0;
if (n == m) return 1 + f(m, m - 1);
if (n > m) return f(m, m);
if (n < m) return f(m - n, n) + f(m, n - 1);
}
