整数划分问题（递归原理）

例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;m为n划分的子数中最大的整数；

递归法：

   根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

      (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

      (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

       (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下

          为f(n-m,m)

       (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

      综上所述：

                             f(n, m)=   1;              (n=1 or m=1)

                       f(n,m) = f(n, n);                   (n<m)

               f(n,m) =1+ f(n, m-1);              (n=m)

      f(n,m) =f(n-m,m)+f(n,m-1);         (n>m)

#include<stdio.h>

int f(int ,int );
int main(){
    int n,m;
    printf("请输入初始值\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("%d\n",f(n,n));
    return 0;
}
int f(int n,int m){
    if(n==1||m==1)  return 1;
    if(n<m)    return f(n,n);
    if(n==m)   return 1+f(n,m-1);
    if(n>m)  return f(n-m,m)+f(n,m-1);
}