整数划分问题的递归分析
将正整数n表示为一系列正整数之和，
n=n1+n2+n3+n4+......+nk （ 其中，n1>=n2>=n3>=n4........>=nk>0,k>=1 ）
正整数n的这种表示成为正整数n的划分。
正整数n的不同划分个数成为正整数n的划分数，记作p（n）。
例如，正整数6有如下11种划分:
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;
这种问题可以认为是把n划分为加数小于或等于某个数的划分，在这里把这个数成为m。
例如，对6的划分可以认作是将6划分为加数小于等于6的划分，因为6的加数确实小于等于6，
为什么要引入这个m呢，是因为我们发现，从这个角度思考，比较容易求解。
我们将划分的种类数记为q（n,m）
在递归里，要对形参进行判断
（1）当n=1时 q(1,m)：表示是对1的划分，那么只有一种划分方式 1
（2）当m=1时q(n,1)：当m=1时其实就是把让所有加数小于等于1，那就是所有加数都是1咯（不考虑负数），当然也只有一种划分方式
（3）当n==m时q(n,n)：此时就是对n的划分出来的数没有限制，默认限制就是不大于n，此时划分的总类数要分两种情况才比较好解决：
1.划分出来的数包含n（或m，因为n==m）:那只有一种方式 比如 6的划分 只有 6;一种方式
2.划分出来的数不包含n（或m，因为n==m）:就可以认为是将6划分出来的数都小于6，其实就是都小于或等于5,接下来 其实就是求出来q(n,n-1)或者是q(n,m-1),此时n>m-1,放到递归方程里就是求解q(n,m) n>m
综合起来 q(n,n)=1+q(n,m-1)
（4）当n>m时：当遇到这个问题时，其实可以看做是对n的划分有了条件，就是所有的划分出来的数小于m，在上文中，6有11种划分方式，那是没有对6划分出来的数进行限制，当要使划分出来的数都小于某个数时比如5时，那就不是11种了。
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;
这个时候分两种情况：包含m和不包含m ：
不包含m就是：
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;
这些情况，其实就是求6的划分出来的数小于等于4的情况,放到递归方程就是 q(n,m-1)
包含m就是：
5+1;
这个时候，确定这种划分数量的时候m不再是主角，我们只要求出来n-m的划分情况就行了，（ 关键 ）
因为此时的m的划分情况，取决于n-m。
比如包含m=5的划分情况就是 6-5=1的情况，比如包含4的划分情况就是求6-4=2,2的没有限制的划分情况。
放到递归方程里面就是q(n-m,m)
（5）q（n,m） n<m时，比如n=6,m=7 求得就是6得划分数小于等于7的情况，其实就是求解小于等于6，
故此时情况就是求解q(n,n);
根据以上分析：
q( n, m ) = 1, 当 n ==1;
q( n, m ) = 1, 当m == 1;
q( n, m ) = q( n,n ) , 当n < m;
q( n, m ) = q( n, m-1) +1 , 当n == m;
q( n, m ) = q( n - m, m ) + q( n , m -1) , 当n > m;
#include<iostream>
#include<ctime>
using namespace std;
int q( int n , int m ){
if( n==1 || m==1 ){
return 1;
}else if( n > m ){
return q( n-m , m )+q( n , m-1 ); //关键所在
}else if( n < m ){
return q( n , n );
}else{
return 1+q( n,n-1 );
}
}
int main(){
double start,stop,dur;
start=clock();
int a=6;
cout<<q(6,6);
stop=clock();
dur=stop-start;
cout<<"\n用时："<<dur<<"毫秒\n";
return 0;
}
