【LeetCode 二分查找专项】寻找峰值（162）

1. 题目

峰值元素是指其值大于左右相邻值的元素。

给你一个输入数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回任何一个峰值所在位置即可。

你可以假设 $nums[-1]=nums[n]=-\infty$ 。

1.1 示例

• 示例 $1$：

• 输入： nums = [1, 2, 3, 1]
• 输出： $2$
• 解释： $3$ 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 $2$ 。

• 示例 $2$：

• 输入： nums = [1, 2, 1, 3, 5, 6, 4]
• 输出： $1$ 或 $5$
• 解释： 你的函数可以返回索引 $1$，其峰值元素为 $2$；或者返回索引 $5$，其峰值元素为 $6$ 。

1.2 说明

• 来源： 力扣（LeetCode）
• 链接： https://leetcode-cn.com/problems/find-peak-element

1.3 提示

• $1<=nums.length<=1000$ ；
• $-2^{31}\le nums[i]\le 2^{31}-1$ ；
• 对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1] 。

1.4 进阶

你可以实现时间复杂度为 $O(logN)$ 的解决方案吗？

2. 解法一

2.1 分析

这道题，最最最重要的是条件，条件，条件：

• 两边都是负无穷；
• 只需返回一个波峰的索引即可。

这道题主要的问题是，数组当中可能有很多波峰，也可能只有一个，如果尝试画图，就跟股票信息一样，没有规律，那如何在使用二分法时根据中点值判断我们的二分方向该往何处去？

实际上，你这样想，中点所在地方，可能是某座山的不同位置：山峰、山的下坡处、山的上坡处。如果是山峰，最后会二分终止。关键是在下坡和上坡处如何确定下一次查找的方向，因为我们并不知道山峰在当前 mid 的左边还是右边。对此，记住两个字就可以了，爬山（没错，就是带你去爬山）：

• 如果你往下坡方向走，也许可能遇到新的山峰，但是也许是一个一直下降的坡，最后到边界；
• 如果你往上坡方向走，就算最后一直上到边界，由于最边界是负无穷，所以一定能找到山峰。

总的一句话，在找到山峰之前往上坡的方向上继续二分，一定能找到，往下坡的方向可能找到，也可能找不到。

• 作者： 笨熊

2.2 解答

from typing import List


class Solution:
    def find_peak_element(self, nums: List[int]) -> int:
        left, right = 0, len(nums) - 1
        while left <= right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if len(nums) == 1 or (left == 0 and nums[0] >= nums[1]):
                return 0
            if right == len(nums) - 1 and nums[-1] > nums[-2]:
                return len(nums) - 1
            if nums[mid - 1] < nums[mid] > nums[mid + 1]:
                return mid
            elif nums[mid - 1] > nums[mid] > nums[mid + 1]:
                right = mid
            else:  # When in trough, either side is okay.
                left = mid


def main():
    nums = [1, 2, 1, 3, 5, 6, 4]
    sln = Solution()
    print(sln.find_peak_element(nums))  # 5


if __name__ == '__main__':
    main()

实际上，第 $17$ 行的 else 包含了两种情况，即：

• nums[mid - 1] < nums[mid] < nums[mid + 1] ，此时往右相当于爬山；
• nums[mid - 1] > nums[mid] < nums[mid + 1] ，此时相当于 nums[mid] 在谷底，向任意一边都算是爬山。

• 时间复杂度： $lo{g}_2(n)$。每一步都将搜索空间减半。因此，总共只需要 $lo{g}_2(n)$ 步。其中 n 为 nums 数组的长度；
• 空间复杂度： $O(1)$。只使用了常数空间。