【算法基础】差分——AcWing 798. 差分矩阵 797. 差分

一维差分

题目

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思路

差分是把一段区间的每个数同时加上或减去一个值，算法应用：将O(n)的时间复杂度优化成O(1).

• 前缀和与差分本质是是互逆的运算
• 理解:前缀和是前n个数相加，差分即是后n个数中每一个数的差值。

核心代码

b[l] =b[l] + value;   //表示数组a[l]以及后面的a[l+1] a[l+2] ... a[end] 全部元素加上一个值value
b[r+1] -=b[r] - value; //表示数组a[r+1]以及后面的a[l+2] a[l+3] ... a[end] 全部元素减去一个值value

然后再使用前缀和计算每个值,这样就达到部分区间元素加值 的效果 。

C++代码

时间复杂度 O(1)

#include<iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6+5;

int a[N], b[N];

void insert(int l , int r , int value){
    
    
    b[l] += value;
    b[r + 1] -= value;//r+1是为了不覆盖右边界的点
}

int main(){
    
    
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i = 1;i <= n;i ++) insert(i,i,a[i]);
     //构造差分数组

    while (m --) {
    
    
        int r,l,value;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&value);
        insert (l,r,value);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    
    
        a[i] = a[i - 1] + b[i];//前缀和
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        printf("%d ", a[i]);
    puts(" ");
    return 0;
}

二维差分

1、题目

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2、思路

代码模板:

void insert (int x1,int y1,int x2,int y2,int value) {
    
    
    b[x1][y1] += value;  
    b[x1][y2+1] -= value;
    b[x2+1][y1] -= value; //加1是为了不改变 x2 y2 点的值
    b[x2+1][y2+1] += value;//加上重复操作的
}

​​​​​​图解:
颜色表示对应面积 圆表示点 矩形表示该区域内的总值
最后一步是因为前俩布都重复减去一个矩形（就是减去了俩个右下角的面积）,因此需要再补上右下角矩阵的面积
​​​​​​

3、C++代码

#include <iostream> 

using namespace std;

const int N=1010;

int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];

//二维/矩阵 差分核心
void insert (int x1,int y1,int x2,int y2,int value) {
    
    
    b[x1][y1]+=value;  
    b[x1][y2+1]-=value;
    b[x2+1][y1]-=value; //加1是为了不改变 x2 y2 点的值
    b[x2+1][y2+1];
}

int main () {
    
    
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);

    for (int i = 1;i <= n;++ i)
        for (int j = 1;j <= n;++ j)
        scanf("%d",&a[i][j]);

    for (int i = 1;i <= n;++ i)
        for (int j = 1;j <= n;++ j)
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);//构建二维差分数组

    while (q --) {
    
    
        int x1,x2,y1,y2,value;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>value;
        insert (x1,y1,x2,y2,value);
    }
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
    
    
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  //二维前缀和
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
    
    
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

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