FFT笔记

1.离散傅立叶变换：

$$X_k = \sum^{N-1}_{n=0} x_n e^{-i2\pi kn/N} , k = 0,....,N-1$$
2.复数单位根
$$w^{k}_{n} = cosk\frac{2\pi}{n} + i sink\frac{2\pi}{n}$$
容易得到
(1) $$w^{2k} _{2n} = w^{k}_{n}$$
(2) $$w^{k+\frac{n}{2}}_{n} = -w^{k}_{n}$$
3.快速傅立叶变换
令 $$A(x) = \sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i$$
将多项式按照下标的奇偶分为两部分。
$$A(x) = (a_0 + a_2x^2+a_4x^4+...+a_{n-2}x^{n-2})+(a_1x+a_3x^3+a_5x^5+..+a_{n-1}x^{n-1})$$
令
$$A_1(x) = a_0+a_2x+a_4x^2+...+a_{n-2}x^{(\frac{n}{2}-1)}$$
$$A_2(x) = a_1+a_3x+a_5x^4+...+a_{n-1}x^{(\frac{n}{2}-1)}$$
我们则可以得到：
$A(x)=A_1(x^2)+xA_2(x^2)$
假设 $k<\frac{n}{2}$，我们求 $A(w^{k}_{n})$:
$$A(w^{k}_{n}) = A_1(w^{2k}_{n})+w^{k}_{n}A_2(w^{2k}_{n})= A_1(w^{k}_{\frac{n}{2}})+w^{k}_{n}A_2(w^{k}_{\frac{n}{2}})$$
对于 $A(w^{k+\frac{n}{2}}_{n})=A_1(w^{k}_{\frac{n}{2}})-w^{k}_{n}A_2(w^{k}_{\frac{n}{2}})$
当 $k$取遍 $[0,\frac{n}{2}-1]$， $k+\frac{n}{2}$取遍 $[\frac{n}{2},n-1]$。
即分别求 $A_1$和 $A_2$的便可以得到 $A(x)$在 $[0,n-1]$所有的
取值。
4.逆变换
$$c_k =( \sum^{n-1}_{i=0}y_i(w^{-k}_{n})^i )$$
展开上式子: $y_i=\sum^{n-1}_{j=0}a_jw^{j}_{i}$
$$\begin{align*} c_k&=\sum^{n-1}_{i=0}(\sum^{n-1}_{j=0}a_j(w^{i}_{n})^j)(w^{-k}_{n})^{i}\\ &=\sum^{n-1}_{i=0}(\sum^{n-1}_{j=0}a_j(w^{j}_{n})^i(w^{-k}_{n})^i)\\ &=\sum^{n-1}_{i=0}\sum^{n-1}_{j=0}a_j(w^{j-k}_{n})^i\\ &=\sum^{n-1}_{j=0}a_j(\sum^{n-1}_{i=0}(w^{j-k}_{n})^i) \end{align*}$$

其中$k$不为0：
$S(w^k_n) = 1 + w^k_n+(w^k_n)^2+...(w^k_n)^{n-1}=\frac{(w^k_n)^n-1}{w^k_n-1} = 0$
当$k=0,S(w^k_n)=n$。
故当$j=k$时，有：

$$c_i = na_i$$
$$a_i = \frac{1}{n}c_i$$

参考资料
https://oi.men.ci/fft-notes/