[FFT] 快速傅里叶变换学习笔记

原文：https://blog.csdn.net/herano/article/details/71213373
-1、为什么学 FFT

退役（很早）之前听说 FFT 很神（e）奇（xin），Po姐来讲的时候也是膜（sha）了（ye）一（bu）发（dong），于是就放那里了。退役之后有（xian）了（de）时（mei）间（shi），并且在篮球赛之前立了赢一场的 flag 否则学FFT结果又双叒叕全输了，于是下面就是成果了……网上 FFT 讲解多得是不看也罢……

0、什么是 FFT？为什么 FFT？

0.1、为什么 FFT？

从一个简单问题说起：大整数乘法。在做 VijosP2000 的时候，看数据范围 O(n2)O(n2) 的 FFT 了。

0.2、什么是 FFT？

FFT（Fast Fourier Transform），全名快速傅里叶变换，这与傅里叶变换只有半毛钱的关系，傅里叶变换是分析波的成分的方法，通过推广傅里叶变换得到了优化的快速傅里叶变换，为了展示区别和联系，下面是傅里叶变换和傅里叶逆变换的公式：
傅里叶变换：

F(ω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(ω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−iωtdt

的原像函数。具体问题请参考《高等数学》，博主还是高中生……（高中高等数学233333）
然后，我们终于可以开始讲 FFT 了……

1 、（初中知识）多项式

1.1、定义

我们把形如 a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1 等类似形式表示。

1.2、多项式的两种表示法

1.2.1、系数表示法

我们知道，向量是个好东西（蛤？），矩阵也是个好东西（蛤？），于是我们把三者结合起来看（蛤玩意？）。
我们将 n−1n−1

1.2.2、点值表示法

我们把多项式 A(x)A(x) 的点值表示。
到这里，是不是差不多忘了要干什么了……

1.3、多项式的运算

1.3.1、多项式求值

这个比较简单，拿题说。这是我还没出也不想出的一道题，拿出来娱乐一下……
题目描述 Description

都知道 FZ 酱数学不好，数学老师很着急，于是让她求个多项式的值。但是数学老师一不小心数据就出大了，他却并没有注意到这一点。老师共出了 TT 道题就崩溃了，请帮她尽快完成作业。

输入 Input

第一行一个整数 TT。

输出 Output

对于每组数据，输出一行，为答案。

样例输入 Sample Input

2
2
3 2
100
3
1 2 3
-9

样例输出 Sample Output

203
226

样例解释 Explanation

对于第一个多项式为 A(x)=2x+3A(x)=2x+3。

限制 Limits

对于 50%50% 位。

那么很好我们必须写高精度了……
2128−1≈3.4×10382128−1≈3.4×1038。

1.3.1.1、方法一：O(pn2)→50ptsO(pn2)→50pts

暴力不会吗？
核心代码如下：

1.3.1.2、方法二：O(p2nlog2n)→[50,80]ptsO(p2nlog2⁡n)→[50,80]pts

这里挨个乘太慢了，快速幂处理会快一些。
（其实不一定会快多少）
核心代码如下：

1.3.1.3、方法三：O(p2n)→100ptsO(p2n)→100pts

学过必修三吗？
学过必修三还不会？
拿出数学必修三翻到 37 页你看到了什么？
秦九韶算法可以大量减少乘法和加法次数，并且把运算量简化为 O(n)O(n) 的。
核心代码如下：

不过没上面的优雅不是吗……（呵呵）
回到正题上，我们要谈的其实是……

1.3.2、多项式的加法和乘法

1.3.2.1、多项式加法

没啥难度，直接加即可：

C(x)=A(x)+B(x)=∑i=0n−1aixi+∑j=0n−1bjxj=∑i=0n−1(ai+bi)xi=∑i=0n−1cixiC(x)=A(x)+B(x)=∑i=0n−1aixi+∑j=0n−1bjxj=∑i=0n−1(ai+bi)xi=∑i=0n−1cixi

完成。

1.3.2.2、多项式乘法

这就是个开括号的问题……
两个次数界为 na,nbna,nb 就可以知道了。

C(x)=∑i=02n−2(∑j=0iajbi−j)xi=∑i=02n−2cixiC(x)=∑i=02n−2(∑j=0iajbi−j)xi=∑