快速傅里叶变换(FFT)_2

快速傅里叶变换(FFT)详解

前言:

DFT：离散傅里叶变换—>O(x²)计算多项式乘法

FFT：快速傅里叶变换—>O(n∗log(n)O(n∗log⁡(n)计算多项式乘法

FNTT/NTT：快速傅里叶变换的优化版—>优化常数及误差

FWT：快速沃尔什变换—>利用类似FFT的东西解决一类卷积问题

MTT：毛爷爷的FFT—>非常nb/任意模数

FMT 快速莫比乌斯变化—>感谢stump提供

多项式

系数表示法

设A(x)A(x)表示一个n−1次多项式则

 

例如：

利用这种方法计算多项式乘法复杂度为O(x²)

（第一个多项式中每个系数都需要与第二个多项式的每个系数相乘）

点值表示法

将nn互不相同的xx带入多项式，会得到nn个不同的取值yy

则该多项式被这n个点唯一确定

其中:

例如：上面的例子用点值表示法可以为(0,2),(1,6),(2,12)

利用这种方法计算多项式乘法的时间复杂度仍然为O(x²)

（选点O(n)，每次计算O(n))

我们可以看到，两种方法的时间复杂度都为O(x²)，我们考虑对其进行优化

对于第一种方法，由于每个点的系数都是固定的，想要优化比较困难

对于第二种方法，貌似也没有什么好的优化方法，不过当你看完下面的知识，或许就不这么想了