- 概念引入
- 点值表示
对于一个$n - 1$次多项式$A(x)$，可以通过确定$n$个点与值（即$x$和$y$）来表示这唯一的$A(x)$
- 复数
对于一元二次方程
$$x^2 + 1 = 0$$
在实数范围内无解，那么我们将实数范围扩充，就得到了复数，再令$i$为该方程的解，即
$$i^2 = - 1$$
那么就定义$z = a + bi$的数为复数，则有
当$b = 0$时，$z$为实数
当$b \neq 0$时，$z$为虚数
当$a = 0 \ \&\& \ b \neq 0$时，$z$为纯虚数
其中，复数满足加法交换律、结合律、乘法分配率等
复数相乘：$z_1 = a_1 + b_1i, \ z_2 = a_2 + b_2i$，则$z_1 × z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i$，它们相乘还是一个复数，在复平面上理解，就是模长相乘，幅角相加
共轭复数：当两个复数实部相同，虚部为相反数时，两个复数被称为共轭复数
对于一个复数$z = a + bi$，还可以在复数平面上用向量表示出来，即有$\overrightarrow{OZ}$一一对应每个$z = a + bi$，那么就有复数的模等于$\overline{Z}$，即$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
复数直接比较大小没有意义，除非它是一个实数
- $FFT$作用
那么，有了点值表示，对于多项式$A(x)$和$B(x)$相乘，就不需要$O(n^2)$，而只需要$O(n)$，因为$C(x_i) = A(x_i) * B(x_i)$，然后枚举$x_i$即可
于是现在的复杂度症结就在于将多项式转化成点值表示的$O(n^2)$了，于是就有$FFT$，可以实现在$O(n \ logn)$的时间内转化
- 离散傅里叶变换
于是傅里叶规定，点值中的$x$为模长为$1$的复数
至于为什么要取复数而不是实数，因为它有很神奇的性质
那么对于这$n$个复数的取法，取的是复平面上半径为$1$的一个圆，将其$n$等分后得到的点，令第$i$个点表示为$\omega_n^k(0 \le k \le n - 1)$，那么这个点在复平面中的表示即为$(cos\frac{k}{n}2\pi, \ sin\frac{k}{n}2\pi)$，那么根据复数乘法在复平面上的意义为模长相乘，幅长相加，即$\omega_n^k$相当于$(\omega_n^1)^k$，那么称$\omega_n^1$为单位根
我们就把这$\omega_n^0, \ \omega_n^1, \ ..., \ \omega_n^{n - 1}$作为点值表示的$x$，称作离散傅里叶变换的结果
先给出关于傅里叶逆变换的结论：
- 将多项式$A(x)$的离散傅里叶变换结果作为系数代入多项式$B(x)$，再将每个离散傅里叶变换结果的倒数，即$\omega_n^0, \ \omega_n^{- 1}, \ ..., \ \omega_n^{- (n - 1)}$作为$x$代入$B(x)$得到点值表示，那么这些表示除以$n$就得到了$A(x)$的原系数 [至于证明：不存在的]
这就是傅里叶变换神奇的性质
- $FFT$
有了傅里叶变换，虽然多项式与点值表示相互转化已经很轻松了，但是复杂度仍然不理想，就有了快速傅里叶变换
结论：
- $\omega_{2n}^{2k} = \omega_n^k$ [证明：代进原公式显然]
- $\omega_n^{k + \frac{n}{2}} = - \omega_n^k$ [证明：关于复平面原点中心对称]
对于多项式$A(x) = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} a_ix^i$，将它的奇偶项拆开，并将$x$转为$x^2$得到（此处先假定$n$为偶数）
$$N(x) = a_0 + a_2x + a_4x^2 + ... + a_{n - 2}x^{\frac{n}{2} - 1}$$
$$M(x) = a_1 + a_3x + a_5x^2 + ... + a_{n - 1}x^{\frac{n}{2} - 1}$$
当然此时代入的是$N(x^2), \ M(x^2)$，则有
$$A(x) = N(x^2) + xM(x^2)$$
此时就需要把$\omega_n^k$代入，分情况讨论：
若$k < \frac{n}{2}$，则有
$$A(\omega_n^k) = N(\omega_n^{2k}) + \omega_n^kM(\omega_n^{2k})$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = N(\omega_{\frac{n}{2}}^k) + \omega_n^kM(\omega_{\frac{n}{2}}^k)$$
反之
$$A(\omega_n^k) = N(\omega_n^{2k + n}) + \omega_n^{k + \frac{n}{2}}M(\omega_n^{2k + n})$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = N(\omega_n^{2k} × \omega_n^n) + \omega_n^{k + \frac{n}{2}}M(\omega_n^{2k} × \omega_n^n)$$（这一步是通过复数乘法复平面上的意义化简的）
$$= N(\omega_{\frac{n}{2}}^k) - \omega_n^kM(\omega_{\frac{n}{2}}^k)$$
于是，我们只要求得$\{\omega_{\frac{n}{2}}^0, \ \omega_{\frac{n}{2}}^1, \ ..., \ \omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2} - 1}\}$，就可以得到$A(x)$的所有关于所有离散傅里叶变换结果的点值表示了，可用分治实现，复杂度$O(n \ logn)$
- 代码（分治FFT）
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #include <cmath> 6 7 using namespace std; 8 9 const int MAXN = 2e06 + 10; 10 11 const double PI = acos (- 1.0); 12 13 int N, M; 14 15 struct mcomplex { 16 double x, y; 17 18 mcomplex () {} 19 mcomplex (double fx, double fy) : 20 x (fx), y (fy) {} 21 22 mcomplex operator + (const mcomplex& p) const { 23 return mcomplex (x + p.x, y + p.y); 24 } 25 mcomplex operator - (const mcomplex& p) const { 26 return mcomplex (x - p.x, y - p.y); 27 } 28 mcomplex operator * (const mcomplex& p) const { 29 return mcomplex (x * p.x - y * p.y, x * p.y + y * p.x); 30 } 31 } ; 32 mcomplex omega (int n, int k, int inv) { 33 return mcomplex (cos (2.0 * PI * (double) k / (double) n), 1.0 * inv * sin (2.0 * PI * (double) k / (double) n)); // 当一个复数的模长为1时，它的共轭复数即为它的倒数 34 } 35 mcomplex A[MAXN], B[MAXN]; 36 37 void FFT (mcomplex* a, int n, int inv) { // inv表示是否取倒数 38 if (n == 1) 39 return ; 40 mcomplex a1[n >> 1], a2[n >> 1]; 41 int m = n >> 1; 42 for (int i = 0; i <= n; i += 2) { 43 a1[i >> 1] = a[i]; 44 a2[i >> 1] = a[i + 1]; 45 } 46 FFT (a1, m, inv); 47 FFT (a2, m, inv); 48 for (int i = 0; i < m; i ++) { 49 mcomplex x = omega (n, i, inv); 50 a[i] = a1[i] + x * a2[i]; 51 a[i + m] = a1[i] - x * a2[i]; 52 } 53 } 54 55 int getnum () { 56 int num = 0; 57 char ch = getchar (); 58 59 while (! isdigit (ch)) 60 ch = getchar (); 61 while (isdigit (ch)) 62 num = (num << 3) + (num << 1) + ch - '0', ch = getchar (); 63 64 return num; 65 } 66 67 int main () { 68 N = getnum (), M = getnum (); 69 for (int i = 0; i <= N; i ++) 70 A[i].x = (double) getnum (); 71 for (int i = 0; i <= M; i ++) 72 B[i].x = (double) getnum (); 73 74 int n; 75 for (n = 1; n <= N + M; n <<= 1); 76 FFT (A, n, 1); 77 FFT (B, n, 1); 78 for (int i = 0; i <= n; i ++) 79 A[i] = A[i] * B[i]; 80 FFT (A, n, - 1); 81 for (int i = 0; i <= N + M; i ++) { 82 if (i) 83 putchar (' '); 84 printf ("%d", (int) (A[i].x / n + 0.5)); 85 } 86 puts (""); 87 88 return 0; 89 } 90 91 /* 92 1 2 93 1 2 94 1 2 1 95 */ 96 97 /* 98 5 5 99 1 7 4 0 9 4 100 8 8 2 4 5 5 101 */
- 参考资料