fft快速傅里叶变换(二)

1、FFT
本文主要依据前面所写的文章请戳进行规律总结，便于后续的程序实现。这里仍然以8点fft进行分析，具体示意图如下：

由上图的输入分析：
输入为$x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)$，这些输入数据的序号并不是按照顺序的；
将$x(0)-x(7)$用二进制表示：
$x(000),x(001),x(010),x(011),x(100),x(101),x(110),x(111)$，
将二进制进行翻转，得到：
$x(000),x(100),x(010),x(110),x(001),x(101),x(011),x(111)$
对应的十进制序号为：
$x(0)x(4)|x(2)x(6)|x(1)x(5)|x(3)x(7)$
这个正好是上面按照奇偶分开得到的输入序列，具体程序实现如下。

void bitReverse(float* xreal, float* ximag, int n)
{
    
    
	int i = 0, j = 0, a = 0, b = 0, p = 0;

	for (i = 1; i < n; i *= 2)
		p++;

	for (i = 0; i < n; i++)
	{
    
    
		a = i;
		b = 0;
		for (j = 0; j < p; j++)
		{
    
    
			b = (b << 1) + (a & 1);
			a >>= 1;
		}

		if (b > i)
		{
    
    
			swap(&xreal[i], &xreal[b]);
			swap(&ximag[i], &ximag[b]);
		}

		printf("b = %d\n", b);
	}
}

说明：
(1)m代表某一级(N = 8时，一共可以分为m = 0,1,2三级)，M表示一共有多少级
(2)旋转因子记为：$W_N^p$，p是旋转因子指数
(3)旋转因子的增量记为：k，比如在m级最后一级增量k总为1
(4)B表示每个蝶形运算的输入数据的间隔

由m-1级到m级蝶形运算可表示为：
$A(j{)}_m=A(j{)}_{m-1}+A(j+B{)}_{m-1}\ast W_N^p$
$A(j+B{)}_m=A(j{)}_{m-1}-A(j+B{)}_{m-1}\ast W_N^p$
对于c实现，由于c没法直接进行复数运算，可以进一步推导如下：

由图一分析可知
(1)每个蝶形运算中两个输入数据的间隔B = $2^m$
(2)有$2^m$个旋转因子
(3)旋转因子$W$增量k = $2^{M-m}$
(4)同一W的间隔为：$2^{m+1}$
(5)蝶形运算的种类数目$2^m$等于间隔B
(6)同种蝶形运算次数k = $2^{M-m}$
下面就可以进行代码实现了，具体实现主要分为三个循环：(1)fft的级数 (2)每一级dft的次数 (3)每一个蝶形运算；

void fft(float* xreal, float* ximag, int n, int M)
{
    
    
	bitReverse(xreal, ximag, n);

	int m = 0, B = 1, j = 0, k = 0, P = 0, i = 0, r = 0;
	float Tr = 0, Ti = 0, theta;

	theta = 2.0 * PI / n;

	for (m = 0; m <= M; m++) //一共有多少级
	{
    
    
		B = 1;
		B = (int)pow(2, m);
		printf("---------------m=%d---------------\n",m);
		for (j = 0; j <= B - 1; j++) //一共有多少个dft
		{
    
    

			k = (int)pow(2, M - m);
			P = 1;
			P = j * k;

			for (i = 0; i <= k - 1; i++) //每个dft的运算
			{
    
    
				r = j + 2 * B * i;
				printf("(%d,%d)\n", r, r + B);

				Tr = xreal[r + B] * cos(P * theta) + ximag[r + B] * sin(P * theta);
				Ti = xreal[r + B] * cos(P * theta) - ximag[r + B] * sin(P * theta);
				xreal[r + B] = xreal[r] - Tr;
				ximag[r + B] = ximag[r] - Ti;
				xreal[r] = xreal[r] + Tr;
				ximag[r] = ximag[r] + Ti;
			}
		}
	}
	
}

2、IFFT
知道了fft的运算方式，求IFFT，我们可以从一下两个方面来进行求解：

ifft的实现：

void ifft(float *xreal, float *ximag, int n, int M)
{
    
    
	for (int k = 0; k < n; k++)
	{
    
    
		ximag[k] = -ximag[k];
	}

	fft(xreal, ximag, n, M);

	for (int k = 0; k < n; k++)
	{
    
    
		xreal[k] = xreal[k] / n;
		ximag[k] = -ximag[k] / n;
	}
}

水平有限，若有不当之处请指教。