fft快速傅里叶变换(一)

fft变换并不是什么新的算法，它只是为了加速dft运算的一种方法，dft的表达式如下：

很显然求出N点的X(k)需要$N^2$次复数乘法和N*(N - 1)次复数加法；我们都知道实现一次复数乘法需要四次实数乘两次实数加，实现一次复数加法需要两次实数加；那么当N很大的时候，计算量就会相当的大。dft作为信号处理中最为常用的算法，这么大的计算量显然是不能在实际中得到很好的应用，为此fft就出现了；fft是如何进行的呢？下面将进行详细的介绍。

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1、基于时间的抽取(DIT)基2fft算法
对于下式

令$N=x^M$，$M$为正整数，将$x(n)$按照奇偶分成两组，基令$n=2r$以及$n=2r+1$，而$r=0,1,...,N/2-1$，于是有

令

则有

$A(k)和B(k)$都是$N/2$点的dft，$X(k)$是N点dft，因此上式中$X(k)$不是完全形式，但是

所以$A(k)，B(k)$可以完全表示$X(k)$，当$N=8$，$A(k)，B(k)以及X(k)$的关系可以用下图表示

上面推到出的结果$A(k)，B(k)仍然是高复合数(N/2)$的dft，可以按照上述方法继续进行分解，分别令$r=2l，r=2l+1，l=0,1，...，N/4-1$，则$A(k)和B(k)$可分别表示为

令

则有

同样的道理，令

同理有


如果$N=8$，那么$C(k)，D(k)，E(k)，F(k)$都是两点dft，无需继续进行展开，则有

如果$N=16,32或者是2的更高次幂$，可以按照上述方法继续进行展开；上述方法均是将时间n按照奇偶进行展开的，所以称为时间抽取DIT，上述方法的8点DFT可以表示为下图：

基本运算单元如下：