学习了一波
,只是浅浅的入门。还有很多前置知识,有一些还不是太了解,完了深入学习之后再补博客
以下内容大部分参考秦岳学长的课件
多项式
形如
,其中
为多项式系数
:
:
多项式的表示法:
系数表达式:上面说的
点值表达式:给出
个不同的
代入
的点值,这样的
个元素构成的集合
,其中
=
,称为点值表示法。
唯一性定理:证明可用范德蒙矩阵行列式
系数与点值:
系数表示法的
次多项式
可以
快速求得
,但是卷积通常需要
计算
点值表示法的 次多项式卷积也可以 计算,只需将值域 对应相乘即可 (由于 项确定次数界为 的多项式,故计算卷积是至少保留 项)
实际上点值表示法的卷积计算的是圆周卷积
点值与系数的转化:
系数表示法
点值表示法
朴素计算
秦九韶算法/霍纳法则
点值表示法
系数表示法
高斯消元
拉格朗日插值法
:
(原理:构造求和式当
时只有一项为
,其余全为
)
(霍纳法则不会 ,等以后补
而 可以在 时间内求出多项式卷积
复数
单位复数
,复数表示为
的形式,运算和实数类似。
其实复数就相当于向量,复数的计算可以用向量计算来解决
struct complex{
double x,y;
complex(double xx=0,double yy=0) {x=xx,y=yy;}
}a[maxn],b[maxn];
complex operator +(complex a,complex b) {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator -(complex a,complex b) {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator *(complex a,complex b) {return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
证明用向量推一推
欧拉公式:
(泰勒级数)
次单位根:
,在复数域中有
个解:
主
次单位根:
由于 次单位根的循环性质,若将其作为点值的 将会简化计算至
欧拉公式的证明可以把公式化一化很容易推
主
次单位根可以几何意义来理解,就是复平面上转
次可以回到
轴
complex Wn(cos(2.0*Pi/lim),1.0*type*sin(2.0*Pi/lim));
快速傅里叶变换
(公式不好打直接贴图)
有点值表达式变回系数表达式是快速傅里叶逆变换,又叫
图解快速傅里叶变换:
代码实现的时候 分递归版和非递归版,递归版就是上面介绍的最基础的,而非递归的要用到蝴蝶变换。
递归版:
void FFT(complex *F,int lim,int type){
if(lim==1) return;
complex a1[(lim>>1)+5],a2[(lim>>1)+5];
for(int i=0;i<=lim;i+=2) a1[i>>1]=F[i],a2[i>>1]=F[i+1];//拆成奇数项和偶数项
FFT(a1,lim>>1,type); FFT(a2,lim>>1,type);
complex Wn(cos(2.0*Pi/lim),1.0*type*sin(2.0*Pi/lim)),w(1,0);
for(int i=0;i<(lim>>1);i++,w=w*Wn){
F[i]=a1[i]+w*a2[i];
F[i+(lim>>1)]=a1[i]-w*a2[i];
}
}
蝴蝶变换
(不知为什么像素如此渣,将就着看qwq)
实现的时候要预处理一个
数组(说实话只要记住就好原理什么的不重要 )
while(limit<=n+m) limit<<=1,l++;
for(int i=0;i<limit;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
非递归版 :
void fft(complex *F,int type){
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<rev[i]) swap(F[i],F[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));//单位根
for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r){//r是区间长度,j是位置
complex w(1,0);//幂
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn){
complex x=F[j+k],y=w*F[j+mid+k];
F[j+k]=x+y; F[j+mid+k]=x-y;
}
}
}
}
因为非递归版比递归版常数小所以现在常用非递归版的
例题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=4e6+10;
const double Pi=acos(-1.0);
inline int rd(){
int x=0,f=1;char c=' ';
while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*f;
}
struct complex{
double x,y;
complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[maxn],b[maxn];
complex operator +(complex a,complex b) {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator -(complex a,complex b) {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator *(complex a,complex b) {return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
int n,m,l,rev[maxn],limit=1;
void fft(complex *F,int type){
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<rev[i]) swap(F[i],F[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));//单位根
for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r){//r是区间长度,j是位置
complex w(1,0);//幂
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn){
complex x=F[j+k],y=w*F[j+mid+k];
F[j+k]=x+y; F[j+mid+k]=x-y;
}
}
}
}
int main(){
n=rd(); m=rd();
for(int i=0;i<=n;i++) a[i].x=rd();
for(int i=0;i<=m;i++) b[i].x=rd();
while(limit<=n+m) limit<<=1,l++;
for(int i=0;i<limit;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
fft(a,1); fft(b,1);
for(int i=0;i<=limit;i++) a[i]=a[i]*b[i];
fft(a,-1);
for(int i=0;i<=n+m;i++)
printf("%d ",(int)(a[i].x/limit+0.5));
return 0;
}
bzoj2179
其实就是
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 240005
using namespace std;
int n,lena,lenb,limit=1,l,rev[maxn],ans[maxn];
char s1[maxn],s2[maxn];
const double Pi=acos(-1.0);
struct complex{
double x,y;
complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[maxn],b[maxn];
complex operator +(complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator -(complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator *(complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
void FFT(complex *F,int type){
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<rev[i]) swap(F[i],F[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
complex Wn(cos(Pi/mid),1.0*type*sin(Pi/mid));
for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r){
complex w(1,0);
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn){
complex x=F[j+k],y=w*F[j+mid+k];
F[j+k]=x+y,F[j+mid+k]=x-y;
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%s%s",&n,s1,s2); lena=lenb=n-1;
for(int i=0;i<n;i++) a[n-i-1].x=s1[i]-'0';
for(int i=0;i<n;i++) b[n-i-1].x=s2[i]-'0';
while(a[lena].x==0) lena--;
while(b[lenb].x==0) lenb--;
while(limit<=lena+lenb) limit<<=1,++l;
for(int i=0;i<limit;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
FFT(a,1);FFT(b,1);
for(int i=0;i<=limit;i++) a[i]=a[i]*b[i];
FFT(a,-1);
for(int i=0;i<=lena+lenb;i++){
ans[i]+=(int)(a[i].x/limit+0.5);
if(ans[i]>9) ans[i+1]+=ans[i]/10,ans[i]%=10;
}
while(ans[lena+lenb+1]) lena++;
int now;
for(now=lena+lenb;now;now--)
if(ans[now]) break;
for(;now>=0;now--) printf("%d",ans[now]);
return 0;
}
bzoj2194
也是非常裸的模板题了,了解性质就能知道把数组翻转一下就好了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 400005
using namespace std;
const double Pi=acos(-1.0);
inline int rd(){
int x=0,f=1;char c=' ';
while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*f;
}
struct complex{
double x,y;
complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[maxn],b[maxn];
complex operator +(complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator -(complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator *(complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
int n,limit=1,l,rev[maxn];
void FFT(complex *F,int type){
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<rev[i]) swap(F[i],F[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
complex Wn(cos(Pi/mid),1.0*type*sin(Pi/mid));
for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r){
complex w(1,0);
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn){
complex x=F[j+k],y=w*F[j+mid+k];
F[j+k]=x+y,F[j+mid+k]=x-y;
}
}
}
}
int main(){
n=rd();
for(int i=0;i<n;i++) a[n-i-1].x=rd(),b[i].x=rd();
while(limit<2*n) limit<<=1,l++;
for(int i=0;i<limit;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
FFT(a,1);FFT(b,1);
for(int i=0;i<=limit;i++) a[i]=a[i]*b[i];
FFT(a,-1);
for(int i=n-1;i>=0;i--) printf("%d\n",(int)(a[i].x/limit+0.5));
return 0;
}
哦对了多说一句,
通常可以用来解决长这个样子的式子:
(这其实就是卷积)
也就是下标和为定值
然后是一些不那么裸的题(但其实还是很裸
ZJOI2014力
把分子和分母分别看成两个多项式然后前面后面分开算,只要翻转一个就好了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define maxn 400005
#define LL long long
using namespace std;
const double Pi=acos(-1.0);
struct complex{
double x,y;
complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a1[maxn],a2[maxn],b[maxn];
complex operator +(complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator -(complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator *(complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
int n,rev[maxn],l,limit=1;
inline void FFT(complex *F,int type){
for(int i=0;i<limit;i++)
if(i<rev[i]) swap(F[i],F[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r){
complex w(1,0);
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn){
complex x=F[j+k],y=w*F[j+k+mid];
F[j+k]=x+y,F[j+mid+k]=x-y;
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a1[i].x),a2[n-i+1].x=a1[i].x;
for(int i=1;i<=n;i++) b[i].x=1.0/i/i;
while(limit<=2*n) limit<<=1,l++;
for(int i=0;i<limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
FFT(a1,1); FFT(b,1);
for(int i=0;i<=limit;i++) a1[i]=a1[i]*b[i];
FFT(a1,-1); FFT(a2,1);
for(int i=0;i<=limit;i++) a2[i]=a2[i]*b[i];
FFT(a2,-1);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%.5lf\n",(a1[i].x-a2[n-i+1].x)/(double)limit);
return 0;
}
HNOI2017礼物
bzoj3160fft+manacher
bzoj4503
再说一句这玩意卡精度会死人的。。掉精度掉的很厉害
所以看起来现在出题都用
?