机器人学笔记(1)变换矩阵

空间描述

如果要描述空间中确定的一点相对于空间中坐标系的位置，使用 $^{A}P$ 表示点P相对坐标系A的位置矢量，然而，在实际的三维空间描述中，单单使用位置矢量是不足以描述位置信息的。

为了描述物体与参考坐标系之间的位置关系，一般选择在物体上建立坐标系，通过物体坐
标系与参考坐标系之间的关系来描述物体在空间中的位置，如图，坐标系之间的位置关系可以使用位置矢量 $^{A}P$ 来表示，而两坐标系之间的旋转关系可以使用旋转矩阵来表示，一般地，我们可以将物体坐标系的三个坐标轴的单位矢量用向量 $\hat{X_A}$ 、 $\hat{Y_A}$ 、 $\hat{Z_A}$ 表示，则其在参考坐标系上的表达为： $\hat{^{B}X_A}$ 、 $\hat{^{B}Y_A}$ 、 $\hat{^{B}Z_A}$ 。可有旋转矩阵为（B相对于A的表达）： $^{A}_{B}R$ ，有：

$^{A}_{B}R = \begin{pmatrix} \hat{^{B}X_A}&\hat{^{B}Y_A}&\hat{^{B}Z_A} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33} \end{pmatrix}$
对于以上3×3矩阵中的每一个元素分别为物体坐标系三轴在参考坐标系下的投影，即：
$^{A}_{B}R = \begin{pmatrix}\hat{^{B}X_A}&\hat{^{B}Y_A}&\hat{^{B}Z_A}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \hat{X_B}\times\ \hat{X_A}&\hat{Y_B}\times\ \hat{X_A}&\hat{Z_B}\times\ \hat{X_A}\\ \hat{X_B}\times\ \hat{Y_A}&\hat{Y_B}\times\ \hat{Y_A}&\hat{Z_B}\times\ \hat{Y_A}\\ \hat{X_B}\times\ \hat{Z_A}&\hat{Y_B}\times\ \hat{Z_A}&\hat{Z_B}\times\ \hat{Z_A} \end{pmatrix}$
在上式中，上标被省略，事实上，只需要在同一个坐标系下即可，结果是一样的。
观察上述矩阵，可有：
$^{A}_{B}R = ^{B}_{A}R^T$

坐标系描述

为了完整描述下述机械手的位置，可将机械手上任选位置作为描述，为方便，将其设置为连体坐标系的原点，在机器人学中，位置和姿态常常成对出现，可将其描述为坐标系，使用四个矢量为一组描述位置和姿态信息，一个位置矢量描述坐标系的位置，另三个矢量描述坐标系的姿态，即为
$[{B}]=[^{A}_{B}R,P_{BORG}]$
P为位置矢量，

$[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-pbqctxq4-1661236589630)(C:\Users\10102\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20220820095112854.png)]$

从坐标系到坐标系的映射

平移坐标的映射

如果两个坐标姿态相同，而他们在空间中的位置是不同的，则两者之间只需做一个平移变换，如下图所示。

在这里插入图片描述

此时，只需要做简单的矢量加法：
$^{A}P=^{A}P_{BOGR}+^{B}P$

旋转坐标的映射

已知旋转矩阵每一列均为相互垂直的单位向量，有：
$^{A}_{B}R =^{B}_AR^{-1}=^{B}_AR^{T}$
旋转矩阵是三个一组的列向量或三个一组的行向量。
$^{A}_{B}R=\begin{pmatrix}^{A}\hat{X}_B&^{A}\hat{Y}_B &^{A}\hat{Z}_B\end{pmatrix}$
此时，我们已知矢量相对于某坐标系B的定义，现在求一矢量相对于另一个坐标系A的关系，且两个坐标系原点重合，这个B对A姿态描述是可以用一个姿态矩阵 $^A_BR$ 来表示的，在下面这种情况中，我们已知矢量 $^BP$ 在B坐标系下的表示，要求 $^AP$ ，我们知道任一矢量的分量就是该矢量在参考系上单位矢量的投影，而这样的投影是由点乘得到的，即：
$^Ap_x=^{A}\hat{X}_B\cdot^BP\\ ^Ap_y=^{A}\hat{Y}_B\cdot^BP\\ ^Ap_z=^{A}\hat{Z}_B\cdot^BP\\$
整理得：
$^AP=^A_BR\cdot^BP$
在这里插入图片描述

在这种case中，我们已知 $^{B}P$ ,求 $^A{P}$ ，考虑最一般的情况，B坐标系与A坐标系的原点不重合，有一个矢量偏移，确定B原点的矢量用 $^A{P}_{BORG}$ 表示，B对A的旋转用旋转矩阵 $^{A}_{B}R$ 表示。

他们之间的变换可以借助中间坐标系先进行一次旋转，再进行一次平移得到，即：
$^{A}P=^{A}_{B}R\cdot^{B}P+^{A}P_{BOGR}$

为了将旋转和平移统一表示，我们引入一种新的形式：
$^{A}P=^{A}_{B}T^{B}P$
即用一个矩阵形式的算子表示一个坐标系到另一个坐标系的映射，其中T是增广后的4×4矩阵。
$\begin{pmatrix} ^{A}P\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ^{A}_BR&^{A}P_{BOGR}\\0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ^{B}P\\1 \end{pmatrix}$
在这里插入图片描述

算子：平移与旋转

平移算子：

平移指的是一个点沿一个矢量方向移动一定的距离，对于空间中一点来说，空间中点的平移与此点到另一坐标系的映射具有相同的描述，对于某一个向量在空间中的移动而言：
在这里插入图片描述

对于向量 $^{A}P_1$ 而言， $^{A}Q$ 描述了 $^{A}P_1$ 的位置变换，为：
$^{A}P_2 =^{A}Q+^{A}P_1$
用矩阵算子写出平移变换，有：
$^{A}P_2=D_Q(q)^{A}P_1$
式中，q是沿矢量 $^{A}Q$ 平移的数量，其中算子 $D_Q(q)$ 为一种特殊的矢量变换
$D_Q(q)=\begin{pmatrix} 1&0&0&q_1 \\ 0&1&0&q_2 \\ 0&0&1&q_3 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$
其中 $q_1$ 、 $q_2$ 和 $q_3$ 是平移矢量 $^AQ$ 的分量，且满足 $\sqrt {q_1^2+q_2^2+q_3^2} = q$ 。

旋转算子

旋转变换算子还可以通过绕某轴转过的角度来表述，例如，绕z轴旋转的旋转矩阵为：
$R_z=\begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta&0&0\\ sin\theta&cos\theta&0&0 \\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$

总结

给出齐次变换矩阵的三个定义：

1.它是坐标系的描述。 $^{A}_{B}T$ 表示相对于坐标系{A}的坐标系{B}。特别的， $^{A}_BR$ （纯旋转矩阵）的各列是B坐标系主轴上的单位矢量（在A坐标系下的表示）， $^{A}P_{BORG}$ 只起到确定B的原点的作用。

2.它是变换映射， $^{A}_{B}T$ 可以将矢量从B坐标系变换到A坐标系。

3.它是变换算子。

变换算法

变换的乘法与变换的逆运算，两套变换构成了一套功能完备的变换算子。

混合变换

在这里插入图片描述

已知坐标系C相对于坐标系B的变换矩阵 $^{B}_{C}T$ 和坐标系B相对于坐标系A的变换矩阵 $^{A}_{B}T$ ,将矢量 $^CP$ 变换为 $^AP$ ，有：
$^AP=^{A}_{B}T^{B}_{C}T^CP$
即：
$^{A}_{C}T=^{A}_{B}T^{B}_{C}T$
转为分块矩阵的形式：
$^{A}_{C}T=\begin{pmatrix} ^A_BR^B_CR&^A_BR^BP_{CORG}+^AP_{BORG}\\ 0&1 \end{pmatrix}$

逆变换

已知坐标系B相对于坐标系A——即已知变换矩阵 $^{A}_{B}T$ 的值，为了得到坐标系A相对于坐标系B的描述，需要求解这个矩阵的逆。当然可以直接求矩阵的逆，但这样算比较繁琐，下面介绍如何利用变换矩阵的性质计算矩阵的逆。

要求 $^A_BT$ ，必须通过 $^AP_{BORG}$ 和 $^A_BR$ 计算得到 $^BP_{AORG}$ 和 $^B_AR$ ，首先回顾一下，关于旋转矩阵，有：
$^B_AR=^A_BR^T$
计算 $^AP_{BORG}$ 在B坐标系下的表示，有
$\begin{pmatrix}^B(^AP_{BORG})\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}^{B}_AR&^{B}P_{AOGR}\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}^AP_{BORG}\\1\end{pmatrix}$
注意，由于计算的是 $^AP_{BORG}$ 在B坐标系下的表示，故 $^B(^AP_{BORG})$ 是零矢量，有：
$^{B}_AR^AP_{BORG}+^{B}P_{AOGR}=0$
即：
$-^A_BR^T\cdot ^AP_{BORG}=^{B}P_{AOGR}$
得到 $^{B}_{A}T$ 为：
$^{B}_{A}T=\begin{pmatrix}^A_BR^T&-^A_BR^T\cdot ^AP_{BORG}\\0&1 \end{pmatrix}$
})$是零矢量，有：
$^{B}_AR^AP_{BORG}+^{B}P_{AOGR}=0$
即：
$-^A_BR^T\cdot ^AP_{BORG}=^{B}P_{AOGR}$
得到 $^{B}_{A}T$ 为：
$^{B}_{A}T=\begin{pmatrix}^A_BR^T&-^A_BR^T\cdot ^AP_{BORG}\\0&1 \end{pmatrix}$