【经典控制理论】| 自动控制原理知识点概要（下）

参考资料

• 胡寿松《自动控制原理》第6版
• 刘豹《现代控制理论》第3版
• 斐润《自动控制原理》
• 哈工大控制学科803考研资料

前文
【经典控制理论】| 自动控制原理知识点概要（上）

6. 线性系统的校正

6.1 综合和校正问题的提出

控制系统的综合和校正问题是在已知固有特性及期望指标的前提下， 确定校正装置， 使系统校正后能满足期望的性能指标。 校正过程如下：

6.2 基本控制规律

自动控制原理里最常见的基本控制规律是PID控制规律。各控制规律在系统校正中的作用与固有特性有关， 应具体问题具体分析。

名称	比例 §	比例微分 (PD)	积分 (I)	比例积分 (PI)	比例积分微分 (PID)
传递函数	${\mathrm{K}}_{\mathrm{p}}$	${\mathrm{K}}_{\mathrm{p}}(\tau \mathrm{s}+1)$	$\frac{1}{\mathrm{s}}$	${\mathrm{K}}_{\mathrm{p}}\left(\frac{1}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}}\mathrm{s}}+1\right)$	${\mathrm{K}}_{\mathrm{p}}\left(\frac{1}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}}\mathrm{s}}+\tau \mathrm{s}+1\right)$

6.3 常用校正装置及其特性

按照校正装置 $G_c(j\omega )$ 的相位 ${\phi }_c$ 的不同,常用校正装置可以分为: 超前校正装置、滞后校正和滞后一一超前校正装置。

1. 超前校正

基本特征 $:{\phi }_c(\omega )>0$ 。
常用的超前校正装置为带惯性的 PD 控制器, 其传递函数为
$${\mathrm{G}}_{\mathrm{c}}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{aTs}+1}{\mathrm{Ts}+1}$$
其中, $a>1$, 其伯德图如下。

其相频特性存在极值点, 该点处
$$\{\begin{array}{l}\omega ={\omega }_{\mathrm{m}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{a}T}}\\ \phi \left({\omega }_{\mathrm{m}}\right)={\phi }_{\mathrm{m}}=\arcsin \frac{\mathrm{a}-1}{\mathrm{a}+1}\\ \mathrm{L}\left({\omega }_{\mathrm{m}}\right)=10\mathrm{lga}\end{array}$$
由于 ${\phi }_c(\omega )$ 的正相角对提高系统的动态性能有利, 因此, 在设计超前校正时, 通常取 ${\omega }_m={\omega }_c。$

2. 滞后校正

基本特征 : ${\phi }_c(\omega )<0$ 。
常用的滞后校正装置为近似 PI 控制器, 其传递函数为
$${\mathrm{G}}_{\mathrm{c}}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{bTs}+1}{\mathrm{Ts}+1}$$
其中$b<1$，其伯德图如下。

由于 ${\phi }_{\mathrm{c}}(\omega )$ 的负相角对系统的平稳性不利, 因此, 在设计滞后校正时, 应使 ${\omega }_{\mathrm{m}}\ll {\omega }_{\mathrm{c}}$ 。通常取: $\frac{1}{\mathrm{bT}}$ $=\left(\frac{1}{5}\sim \frac{1}{10}\right){\omega }_c$

3. 滞后一一超前校正

基本特征: $\omega$ 较小时, ${\phi }_c(\omega )<0;\omega$ 较大时, ${\phi }_c(\omega )>0$ 。

常用滞后一一超前网络的传递函数为
$${\mathrm{G}}_{\mathrm{c}}(\mathrm{s})=\frac{\left({\mathrm{bT}}_{\mathrm{b}}\mathrm{s}+1\right)\left({\mathrm{aT}}_{\mathrm{a}}\mathrm{s}+1\right)}{\left({\mathrm{T}}_{\mathrm{b}}\mathrm{s}+1\right)\left({\mathrm{T}}_{\mathrm{a}}\mathrm{s}+1\right)}$$
其中, $a>1,b<1,{\mathrm{bT}}_{\mathrm{b}}>{\mathrm{aT}}_{\mathrm{a}}$ 。
常用校正装置一般都可以用无源网络和有源网络去实现。

4. 用分析法设计串联校正

对于线性控制系统, 常用的串联校正设计方法有分析法和综合法两种。分析法又称为试探法。 用分析法设计校正装置比较直观, 在物理上容易实现, 但要求设计者有一定的工程设计经验, 设计过 程具有试探性。

一般认为, 形如 $G_c(s)=\frac{aTs+1}{Ts+1}$ (其中 $a>1)$ 的超前校正的适用条件为:

$$\{\begin{array}{l}\text{ 固有系统通过调整增益可满足稳态要求 }\\ {\omega }_c>{\omega }_{c0}\\ l_{\gamma >{\gamma }_0}且\{\begin{array}{l}\text{ 校正前系统稳定 }\left({\gamma }_0>0\right)\\ \text{ 从 }{\omega }_{c0}>{\omega }_c\text{ 段 }{\phi }_0(\omega )\text{ 下降不剧烈 }\end{array}\end{array}$$

形如 $G_c(s)=\frac{bTs+1}{Ts+1}$ (其中 $b<1$ ) 的滞后校正的适用条件为:
$$\{\begin{array}{l}\text{ 固有系统通过调整增益可满足稳态要求 }\\ {\omega }_{\mathrm{c}}<{\omega }_{\mathrm{c}0}\\ \gamma >{\gamma }_0\text{ 且 }180^{\circ }+{\phi }_0\left({\omega }_{\mathrm{c}}\right)\text{ 比 }\gamma \text{ 大 }{5}^{\circ }\text{ 以上 }\end{array}$$

5. 用综合法设计串联校正

综合法设计串联校正的基本思路是: 首先根据期望性能指标及固有特性设计出满足要求的期望特性, 然后再根据校正前后开环传递函数的关系, 求出校正装置的传递函数。

工程设计法只是将期望特性进一步规范化和简单化, 常用的工程设计法有 ${\gamma }_{\max }$ 和 ${\mathrm{M}}_{\text{min }}$ 设计法。

6.4 反馈校正

1. 反馈校正的基本原理

用反馈校正装置包围待校正系统中对动态性能改善有重大妨碍作用的某些环节, 形成一个局部 反馈回路。在局部反馈回路的开环幅值远大于 1 的条件下, 局部反馈回路的特性主要取决于反馈校正装置, 而与被包围部分无关; 适当选取反馈校正装置的形式和参数, 可使已校正系统的性能满足给定指标的要求。

2. 反馈校正的特点

反馈校正可以削弱非线性特性的影响, 可减小系统的时间常数, 可降低系统对参数变化的敏感性, 可抑制系统噪声。

3. 反馈校正的设计思路

反馈校正的设计常用综合法。一般是首先绘出期望特性, 再根据局部反馈和期望特性的关系求出校正装置的传递函数, 经校验合理后, 便可确定反馈校正的传递函数。

6.5 复合校正

复合校正的主要目的是减小乃至消除稳态误差, 其特点是在反馈回路中加人前馈通路。复合校 正可分为按输人补偿和按扰动补偿两种。

1. 按输人补偿的复合校正

设输人信号为 $r(t)$, 误差信号为 $e(t)$, 首先应用结构图变换或用 Mason 公式求出: ${\phi }_{\mathrm{er}}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{E}(\mathrm{s})}{\mathrm{R}(\mathrm{s})}$

• 完全补偿: 令 ${\phi }_{\mathrm{er}}(\mathrm{s})=0$, 解出相应的前馈校正装置的传递函数。
• 部分补偿: 根据 ${\phi }_{\mathrm{er}}(\mathrm{s})$ 和 ${\mathrm{e}}_{\mathrm{ssr}}$ 的关系, 先确定 ${\phi }_{\mathrm{er}}(\mathrm{s})$ 的分子的形式, 再求出前馈校正装置的传递函数。

2. 按扰动补偿的复合校正

设扰动信号为 $\mathrm{n}(\mathrm{t})$, 误差信号为 $\mathrm{e}(\mathrm{t})$, 首先应用结构图变换或用 Mason 公式求出:
$${\phi }_{en}(s)=\frac{E(s)}{N(s)}$$

• 完全补偿: 令 ${\phi }_{\mathrm{en}}(\mathrm{s})=0$, 解出相应的前馈校正装置的传递函数。
• 部分补偿: 根据 ${\phi }_{\mathrm{en}}(\mathrm{s})$ 和 ${\mathrm{e}}_{\mathrm{ssn}}$ 的关系, 先确定 ${\phi }_{\mathrm{en}}(\mathrm{s})$ 的分子的形式, 再求出前馈校正装置的传递函数。

7. 离散系统的分析和校正

7.1 离散系统的基本概念

控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲或是数字 (数码), 由于信号在时间上是离散的, 这类系统称为离散系统。

• $\mathrm{A}/\mathrm{D}$ 转换: 把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号 (二进 制的整数)。
• $\mathrm{D}/\mathrm{A}$ 转换：把离散的数字信号转换为连续模拟信号。

7.2 连续时间信号的采样与复现

• 香农采样定理。如果采样器的输入信号 $e(t)$ 具有有限带宽, 并且有直到 ${\omega }_{\mathrm{h}}$ 的频率分量 (最大的频率分量), 则使信号 $e(t)$ 圆满地从采样信号 $e^{\ast }(t)$ 中恢复过来的采样周期 $T$, 满足下列 条件: $T⩽\frac{2\pi }{2{\omega }_{\mathrm{h}}}$，即采样频率${\omega }_s$满足${\omega }_s\ge 2{\omega }_{\mathrm{h}}$
• 零阶保持器: $G_{\mathrm{h}}(s)=\frac{1}{s}-\frac{{\mathrm{e}}^{-Ts}}{s}=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-Ts}}{s}$

7.3 Z变换理论

1. Z变换定义

• 采样信号: $e^{\ast }(t)={\sum }_{n=0}^{\infty }e(nT)\delta (t-nT)$
• 采样拉普拉斯变换: $E^{\ast }(s)={\sum }_{n=0}^{\infty }e(nT){\mathrm{e}}^{-nsT}$
• $Z$ 变换的定义式为: $E(z)={E^{\ast }(s)|}_{s=\frac{1}{T}\ln z}={\sum }_{n=0}^{\infty }e(nT)z^{-n}$
  记作: $E(z)=Z\left[e^{\ast }(t)\right]=Z[e(t)]$ 。

2. $Z$ 变换性质

• 线性性质: $$Z\left[a{e}_1^{\ast }(t)\pm b{e}_2^{\ast }(t)\right]=a{E}_1(z)\pm b{E}_2(z)$$

• 实数位移定理。
  滞后定理: $$Z[e(t-nT)]=z^{-n}E(z),z^{-1}={\mathrm{e}}^{-sT}(延迟算子)$$
  超前定理:$$Z[e(t+nT)]=z^n\left[E(z)-\sum _{k=0}^{n-1}e(kT)z^{-k}\right]$$

• 复数位移定理:
  $$Z\left[e(t)\cdot {\mathrm{e}}^{\mp at}\right]=E\left(z\cdot {\mathrm{e}}^{\pm at}\right)$$

• 终值定理: $$\underset{n\to \infty }{\lim }e(nT)=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{z-1}{z}E(z)$$

• 卷积定理: 设 $$u^{\ast }(t)=e^{\ast }(t)\ast g^{\ast }(t)=\sum _{k=0}^{\infty }e(kT)\cdot g[(n-k)T]$$, 则 $$U(z)=E(z)\cdot G(z)$$

• $Z$ 域微分定理: $$Z[t\cdot e(t)]=-zT\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}E(z)$$

3. Z 反变换

• 部分分式法

  设已知的 $Z$ 变换函数 $E(z)$ 无重极点, 先求出 $E(z)$ 的极点 $z_1,z_2,\cdots z_n$, 再将 $\frac{E(z)}{z}$ 展开成如 下部分分式之和:
  $$\frac{E(z)}{z}=\sum _{i=1}^n\frac{A_i}{z-z_i}$$
  再由上式写出 $E(z)$ 的部分分式之和: $$E(z)=\sum _{i=1}^n\frac{A_{i}z}{z-z_i}$$
  然后逐项查 $Z$ 变换表, 得: $$e_i(nT)=Z^{-1}\left[\frac{A_{i}z}{z-z_i}\right],i=1,2,\cdots ,n$$
  最后写出已知 $E(z)$ 对应的采样函数: $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{i=1}^n{e}_i(nT)\delta (t-nT)$$

• 幂级数法
  通常 $E(z)$ 可以写成如下形式: $$E(z)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+\cdots +b_m{z}^{-m}}{a_0+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\cdots +a_n{z}^{-n}},m⩽n$$ 式中, $a_i(i=0,1,2,\cdots ,n)$ 和 $b_j(j=0,1,2,\cdots ,n)$ 均为常系数。
  通过对上式直接做综合除法, 得到按 $z^{-1}$ 升幂排列的幂级数展开式: $$E(z)=c_0+c_1{z}^{-1}+c_2{z}^{-2}+\cdots +c_n{z}^{-n}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^{-n}$$
  最后写出已知 $E(z)$ 对应的采样函数: $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\delta (t-nT)$$

• 常见z变换表

  F(s)	f(t) 或 f(k)	F(z)
  1	$\delta (\mathrm{t})$	1
  ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{kTs}}$	$\delta (\mathrm{t}-\mathrm{kT})$	${\mathrm{z}}^{-\mathrm{k}}$
  $\frac{1}{\mathrm{s}}$	$1(\mathrm{t})$	$\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}-1}$
  $\frac{1}{{\mathrm{s}}^2}$	$\mathrm{t}\mathrm{On}\mathrm{T}$	$\frac{\mathrm{Tz}}{(\mathrm{z}-1{)}^2}$
  $\frac{1}{{\mathrm{s}}^3}$	$\frac{{\mathrm{t}}^2}{2!}\mathrm{O}$	$\frac{{\mathrm{T}}^2\mathrm{z}(\mathrm{z}+1)}{2!(\mathrm{z}-1{)}^3}$
  $\frac{1}{\mathrm{s}+\mathrm{a}}$	${\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}$	$\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{aT}}}$
  $\frac{1}{\mathrm{s}-\frac{\ln \alpha }{\mathrm{T}}}$	${\alpha }^{\mathrm{k}}$	$\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}-\alpha }$

7.4 离散系统的数学模型

线性定常差分方程及其解法主要有：(1)迭代法; (2)Z 变换法。

1. 脉冲传递函数

• 定义: 零初始条件下, 离散系统输出脉冲序列 $Z$ 变换与输入脉冲序列 $Z$ 变换之比。
  $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}$$
  典型离散环节示意图如图所示。

• 求法: (1)由差分方程求取；(2)由连续部分的传递函数求脉冲传递函数。

• 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数
  有零阶保持器时, 开环系统脉冲传递函数为:
  $$G(z)=G_h(s)G_p(s)=\frac{1-e^{-Ts}}{s}{G}_p(s)=(1-e^{-Ts})\frac{G_p(s)}{s}=\left(1-z^{-1}\right)Z\left[\frac{G_p(s)}{s}\right]$$

  

• 闭环系统脉冲传递函数
  由于采样开关的位置不同, 所以离散闭环系统的结构形式不是统一的, 下图是常见的系统结构图, 图中输入端和输出端的采样开关是为了方便分析而虚设的。所有采样开关都是同步的, 且具有相同的采样周期 $T$ 。

  

  由图可见 $e(t)=r(t)-b(t)$, 或写成 $e^{\ast }(t)=r^{\ast }(t)-b^{\ast }(t)$ 。
  取 $Z$ 变换:
  $$E(t)=R(t)-B(t)$$
  系统输出:
  $$C(s)=G(s)E^{\ast }(s),E(s)=R(s)-H(s)C(s)$$
  所以: $$E(s)=R(s)-H(s)G(s)E^{\ast }(s)$$
  则有: $$E^{\ast }(s)=R^{\ast }(s)-H{G}^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$
  可得: $$E^{\ast }(s)=\frac{R^{\ast }(s)}{1+H(s)G^{\ast }(s)}$$
  由于 $$C^{\ast }(s)=[G(s)E^{\ast }(s)[=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)=\frac{R^{\ast }(s)}{1+H(s)G^{\ast }(s)}{R}^{\ast }(s)$$
  故:
  $$E^{\ast }(z)=\frac{R(z)}{1+H(z)G(z)},C(z)=\frac{G(z)}{1+H(z)G(z)}R(z)$$
  定义 $${\Phi }_{\mathrm{e}}(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+H(s)G(z)}$$ 为闭环离散系统对输入量的误差脉冲传递函数。 而 $\Phi (z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{G(z)}{1+H(s)G(z)}$ 为闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数-闭环脉冲传递函数。若 $H(s)=1$, 则: $${\Phi }_{\mathrm{e}}(z)=\frac{1}{1+H(z)G(s)},\Phi (z)=\frac{G(z)}{1+H(s)G(z)}$$
  与连续系统类似, 令 ${\Phi }_{\mathrm{e}}(z)$ 或 $\Phi (z)$ 的分母为零, 便可得到闭环离散系统的特征方程:
  $$D(z)=1+G(s)H(z)=0$$
  注意: 若 $e(t)$ 处没有采样开关, 则 $\Phi (z)、{\Phi }_{\mathrm{e}}(z)$ 将无法求出。

7.5 离散系统的稳定性分析

1. 离散系统稳定的充分必要条件

根据$z$平面与$s$平面的映射关系$z=e^{sT}$，可得到离散系统稳定的充要条件是：

当且仅当离散系统特征方程的全部特征根均分布在 $z$ 平面上的单位圆内, 或者所有特征根的模均小于 1 , 即 $\left|z_i\right|<1(i=1,2,\cdots ,n)$, 相应的线性定常离散系统是稳定的。

2. 离散系统的稳定性判据

• 根据充分必要条件, 求解离散系统特征方程的根, 判断其是否全部位于单位圆内。
• $W$ 变换（双线性变换）与劳斯稳定判据。令 $z=\frac{\omega +1}{\omega -1}$, 代入到离散系统的特征方程, 然后对其进行劳斯稳定判据。
• 朱利稳定判据。列出朱利表, 满足约束条件, 则系统稳定。
  以二阶系统为例。设离散系统二阶特征方程为 $D(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2=0,a_2>0$, 则此系统 稳定的充分必要条件是:
  $$\{\begin{array}{l}D(1)=a_0+a_1+a_2>0\\ D(-1)=a_0-a_1+a_2>0\\ \left|a_0\right|<a_2\end{array}$$

7.6 离散系统的稳态误差分析

1. 离散系统的型别

在离散系统中, 把开环脉冲传递函数 $G(z)$ 具有 $z=1$ 的极点数 $v$ 作为划分离散系统型别的标 准, 即 $v=0,1,2,\cdots$ 时分别成为 0 型、I 型和 II 型等离散系统。

2. 离散系统稳态误差

(1) 用终值定理求取。若离散系统稳定, 用终值定理求 $e_{\mathrm{ss}}={\lim }_{z\to 1}\frac{(z-1)}{z}E(z)$ 。
(2) 用静态误差系数法求取。
离散系统的稳态误差结果如表 7-1 所示。

系统型别	位置误差$r(t)=A\cdot 1(t)$	速度误差$r(t)=At$	$\infty$
0	$\frac{A}{K_{\mathrm{p}}}$	$\infty$	$\infty$
I	0	$\frac{AT}{K_{\mathrm{v}}}$	$\infty$
II	0	0	$\frac{A{T}^2}{K_{\mathrm{a}}}$
III	0	0	0

其中, 静态位置误差系数 $$K_{\mathrm{p}}=\underset{z\to 1}{\lim }[1+G(z)]$$
静态速度误差系数: $$K_{\mathrm{v}}=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)G(z)$$
静态加速度误差系数 $$K_{\mathrm{a}}=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1{)}^{2}G(z)$$

7.7 离散系统的动态性能分析

• 复数极点;
  • 位于单位圆外, 动态响应分量为振荡发散脉冲序列;
  • 位于单位圆上, 动态响应分量为等幅振荡脉冲序列;
  • 位于单位圆内, 动态响应分量为振荡收敛脉冲序列。
• 实数极点:
  • 位于单位圆外的负实轴上, 动态响应分量为交替变号的发散脉冲序列;
  • 位于负实轴单位圆上, 动态响应分量为交替变号的发散脉冲序列;
  • 位于单位圆内的负实轴上, 动态响应分量为交替变号的衰减脉冲序列;
  • 位于单位圆外的正实轴上, 动态响应分量为交替变号的发散脉冲序列;
  • 位于正实轴单位圆上, 动态响应分量为等幅脉冲序列;
  • 位于单位圆外的正实轴上, 动态响应分量为按指数规律衰减的脉冲序列;

7.8 最少拍系统设计

所谓最少拍系统, 是指在典型输入作用下, 能以有限拍结束响应过程且在采样时刻上无稳 态误差的离散系统。

1. 设计原则

数字校正器的脉冲传递函数为
$$\mathrm{D}(\mathrm{z})=\frac{\Phi (\mathrm{z})}{\mathrm{G}(\mathrm{z})[1-\Phi (\mathrm{z})]}$$

最少拍系统的设计原则是： 选择闭环传递函数 $\Phi (\mathrm{z})$， 使系统在典型输入作用下， 经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零， 达到完全跟踪的目的， 从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数 $D(z)$ 。

由 $e_{\mathrm{ss}}=0$ 得:
$$E(z)={\Phi }_{\mathrm{e}}(z)\cdot R(z)=\frac{A(z)}{{\left(1-z^{-1}\right)}^m}{\Phi }_{\mathrm{e}}(z)$$

$$e_{\mathrm{ss}}=\underset{n\to 1}{\lim }(z-1)\cdot E(z)=\underset{z\to 1}{\lim }\left(1-z^{-1}\right)\frac{A(z)}{\left(1-z^{-1}\right)}{\Phi }_{\mathrm{e}}(z)=0$$
$${\Phi }_{\mathrm{e}}(z)={\left(1-z^{-1}\right)}^{m}F(z)$$
取 $$F(z)=1,{\Phi }_{\mathrm{e}}(z)={\left(1-z^{-1}\right)}^m$$

2. 设计步骤

• 求 $G(z)$ 一没有单位圆上及圆外的零、极点。
• 针对特定的典型输入选 ${\Phi }_{\mathrm{e}}(z)$: $$r(t)\to R(z)=\frac{A(z)}{{\left(1-z^{-1}\right)}^m}\Rightarrow {\Phi }_{\mathrm{e}}(z)={\left(1-z^{-1}\right)}^m$$
• 确定 $\Phi (z)=1-{\Phi }_{\mathrm{e}}(z)$ 。
• 写出 $D(z)=\frac{\Phi (z)}{{\Phi }_{\mathrm{e}}(z)\cdot G(z)}$ 。

设计结果如下表：

7.9 例题

8. 非线性控制系统分析

8.1 描述函数的定义及计算

设非线性环节的输人信号为: $x(t)=X\sin \omega t$, 输出为 $y(t)$ 。非线性环节的输人输出描述为 $y=f(x)$ 。

定义: 非线性环节的稳态输出中的基波分量的复数形式与输人正弦信号的负数形式之比, 称为非线性环节的描述函数, 记为 $N(X,\omega )$, 即
$$N(X,\omega )=|N(X,\omega )|e^{j\angle N(X,\omega )}=\frac{Y_1{e}^{j{\phi }_1}}{X}=\frac{B_1}{X}+j\frac{A_1}{X}$$
式中, X一一非线性环节输人端的正弦信号的振幅。
$$\begin{array}{l}{\mathrm{A}}_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{y}(\omega \mathrm{t})\cos \omega \mathrm{td}(\omega \mathrm{t})(\mathrm{n}=0,1,\cdots )\\ \\ {\mathrm{B}}_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{y}(\omega \mathrm{t})\sin \omega \mathrm{td}(\omega \mathrm{t})(\mathrm{n}=1,2,\cdots )\\ \\ {\mathrm{Y}}_1=\sqrt{{\mathrm{A}}_1^2+{\mathrm{B}}_1^2}\\ \\ {\phi }_1=\arctan \frac{{\mathrm{A}}_1}{{\mathrm{B}}_1}\end{array}\}$$

当非线性特性为单值奇对称特性时, $A_1=0,Y_1=B_1,{\phi }_1=0,N(X)=\frac{B_1}{X}$ 为实数。

8.2 描述函数法的应用条件

非线性系统能够简化成下图所示的典型结构。

非线性环节的输人输出特性是奇对称的。系统的线性部分具有良好的低通性能。

8.3 描述函数法

描述函数法主要用于分析在无外力作用情况下, 非线性系统的稳定性和自振荡问题, 并且不受系统的阶次限制。

非线性元件的输入为正弦波时, 将输出的非正弦波的一次谐波（基波） 与输入正弦波的复数比定义为非线性环节的描述性函数。

描述函数法分析稳定性和自激振荡。将线性系统的奈奎斯特稳定性判据推广, 应用于非线性系统。当给定的假设条件满足时, 在描述函数法中可以用线性系统中线性部分的频率特性 $G(\mathrm{j}\omega )$ 与临界点 $-\frac{1}{N(X)}$ 的相对位置来判断非线性系统的稳定性。

首先把系统规划为上图所示的典型结构, 然后在复平面上绘出 $-\frac{1}{N(X)}$ 曲线和 $G(j\omega )$ 曲线, 再应用广义 Nyquist 判据判断非线性系统的稳定性。

通常情况下, 设线性部分的 $G(s)$ 中有正根 $P$ 个, 则:

• 若 $G(\mathrm{j}\omega )$ 曲线逆时针包围整个 $-\frac{1}{N(X)}$ 曲线 $P/2$ 圈, 则该系统是闭环稳定的, 否则该非 线性系统是不稳定的。
• 若 $G(j\omega )$ 与 $-\frac{1}{N(X)}$ 有交点, 则交点处会出现周期性运动。
• 若沿着 $\mathrm{X}$ 增加的方向, $-\frac{1}{\mathrm{N}(\mathrm{X})}$ 曲线是从稳定区域进人不稳定区域, 则交点处的周期运动是不稳定的;
• 若沿着 $\mathrm{X}$ 增加的方向, $-\frac{1}{\mathrm{N}(\mathrm{X})}$ 曲线是从不稳定区域进人稳定区域, 则交点处的周期运动是稳定的, 即会产生自持振荡, 简称自振。令 $G(j\omega )=-\frac{1}{N(X)}$, 从中解出的 $X$ 即为非线性环节输人端 $\mathrm{x}$ 处的自振振幅, $\omega$ 即为自振的角频率。

8.4 相平面分析法

以 $x、\dot{x}$ 为坐标的平面称为相平面, 系统的某一状态对应于相平面上的一点。相平面上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹。对应于二阶线性定常系统的相轨迹, 可以对非线性系统进行分 析, 这种分析方法称为相平面分析法。

设二阶系统的微分方程为 $\ddot{x}=f(\dot{x},x)$ 。

• 解析法。

  用解微分方程的方法找出 $x$ 和 $\dot{x}$ 的关系, 从而在相平面上绘制相轨迹。通常取 $\ddot{x}=\dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}$, 代入原方程, 最后得: $${\int }_{{\dot{x}}_0}^{\dot{x}}g(\dot{x})\mathrm{d}\dot{x}={\int }_{x_0}^{x}h(x)\mathrm{d}x$$
  由此可得 $\dot{x}$ 和 $x$ 的解析关系式, 其中 ${\dot{x}}_0$ 和 $x_0$ 为初始条件。

• 等倾线法。

  等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法, 不需要解微分方程。适用于求解 困难的非线性微分方程。
  令 $a=\mathrm{d}\dot{x}/\mathrm{d}x$, 即 $a=f(x,\dot{x})$, 对于 $a$ 的不同取值, 由 $a=f(x,\dot{x})$ 可得 $x$ 与 $\dot{x}$ 的不同关系式, 且在曲线 $a=f(x,\dot{x})$ 上, 均具有相同的斜率 $a$ 。给出一组 $a$, 就可近似描绘出相平面图形。

• 奇点和奇线

  在相平面中使系统微分方程满足 $\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{0}{0}$ 不定形式的点即为奇点。线性二阶系统奇点的类型有：焦点（稳定和不稳定）和节点（稳定和不稳定）和鞍点。

  奇线是特殊的相轨迹, 将相平面划分成具有不同运动特点的多个区域。最常见的奇线是极限环, 极限环有三类: 稳定的极限环和不稳定的极限环和半稳定的极限环。

8.5 例题

9. 李亚普诺夫稳定性理论

9.1 稳定性的基本概念

• 平衡状态。
  若 ${\dot{\mathbf{x}}}_{\mathrm{e}}=f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{e}},t\right)=0$, 则 $x_{\mathrm{e}}$ 为系统的平衡状态。
• 李雅普诺夫意义下的稳定性。
  假设系统初始状态位于以平衡状态 ${\mathbf{x}}_{\mathrm{e}}$ 为球心, $\delta$ 为半径 的闭球域 $S(\delta )$ 内, 即 $\Vert x_0-x_{\mathrm{e}}\Vert ⩽\delta \left(\epsilon ,t_0\right)$, 并且 ${\lim }_{t\to 0}\Vert x\left(t,x_0,t_0\right)-x_{\mathrm{e}}\Vert ⩽\epsilon ,t⩾t_0$, 则称 $x_{\mathrm{e}}$ 是李雅普 诺夫意义下的稳定。
• 渐近稳定。
  状态满足李雅普诺夫稳定, 并且 ${\lim }_{t\to \infty }\Vert x\left(t,x_0,t_0\right)-x_{\mathrm{e}}\Vert \to 0$, 则称为渐近稳定。
• 大范围渐近稳定。
  对 $\forall x_0\in S(\delta ),\delta \to \infty ,S(\delta )\to \infty$, 都有 ${\lim }_{t\to \infty }\Vert x\left(t,x_0,t_0\right)-x_{\mathrm{e}}\Vert \to 0$, 则称大范围渐近稳定。
• 不稳定。
  不管 $\delta 、\epsilon$ 多小, 只要 $S(\delta )$ 内由 ${\mathbf{x}}_{\mathrm{e}}$ 出发的轨迹超出 $S(\delta )$ 以外, 则 ${\mathbf{x}}_{\mathrm{e}}$ 不稳定。

9.2 稳定性的判定方法

1. 李雅普诺夫第一法 (间接法)

根据线性定常系统稳定性的特征值判断系统稳定性。
设线性定常系统的状态方程为 $\dot{x}=\mathbf{Ax}$, 稳定状态判断的充要条件如下:

• 李雅普诺夫意义下的稳定: $\mathrm{Re}\left({\lambda }_i\right)⩽0$;

• 渐近稳定: $\mathrm{Re}\left({\lambda }_i\right)<0$; 不稳定: $\mathrm{Re}\left({\lambda }_i\right)>0$ 。

2. 李雅普诺夫第二法 (直接法)

如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数 $V(x,t),V(0,t)=0$, 满足: $V(x,t)$ 正定有界, $\dot{V}(x,t)$ 负定有界， $\Vert x\Vert \to \infty ,V(x,t)\to \infty$, 则 系统在原点是大范围稳定的。

9.3 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析

线性定常系统 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x},\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0,t⩾0$ 渐近稳定的充要条件:

对于一个正定对称矩阵 $\mathbf{Q}$, 存在一个正定矩阵, 使得 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}+\mathbf{P}\mathbf{A}=-\mathbf{Q}$ 成立。

9.4 构造李雅普诺夫函数

1. 变量梯度法

设 $\dot{V}(\mathbf{x})=[\nabla V{]}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}$, 其中, $\nabla V=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+\cdots +a_{nn}{x}_n\end{array}\right]$ 。

• 写出 $\dot{V}(\mathbf{x})$, 单限定为负定;
• 令 $\frac{\partial \left(\nabla V_j\right)}{\partial x_i}=\frac{\partial \left(\nabla V_i\right)}{\partial x_j}$;
• 检验 $\dot{V}(\mathbf{x})$ 是否为负定;
• 可得李雅普诺夫函数为: $V(x)={\int }_0^{x_1}\nabla V_1\zeta \mathrm{d}\zeta +\cdots +{\int }_0^{x_n}\nabla V_n\zeta \mathrm{d}\zeta$ 。

2. 克拉索夫斯基方法

当奇点为 ${\mathbf{x}}_{\mathrm{el},2}=0$ 时经常使用克拉索夫斯基方法。
设 $$\mathbf{A}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ll}\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2}\\ \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_2}\end{array}\right]$$
若 $$\mathbf{F}(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{A}(\mathbf{x})+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{x})}{2}$$ 为负定, 则该平衡状态是渐近稳定的，其李雅普诺夫函数可为 $V(x)={\mathbf{f}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{x})\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 。若 $\Vert x\Vert \to \infty ,V(x)\to \infty$, 则该平衡状态是大范围渐近稳定的。

9.5 例题